Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Однако число слагаемых в формуле (4.7) достаточно велико (1996 слагаемых) и поэтому применять указанную формулу практически невозможно. Рассмотрим противоположное событие, то

есть событие F – в течение часа позвонят на коммутатор менее четырех абонентов. Тогда вероятность искомого события можно определить по формуле

P(F ) = 1 − P(F ) .

Для события F имеем: n = 2000 , p = 0,0025 , k1 = 4 . Найти вероятность

P(F ) = P2000 (k < 4) = P2000 (0 ≤ k < 4) = P2000 (0 ≤ k ≤ 3) .

Так как количество испытаний n = 2000 – велико, число слагаемых в формуле (4.3) не велико (четыре слагаемых) и вероятность появления события в каждом испытании очень мала

= P2000 (0 ≤ k ≤ 3) , применим формулу (4.3)

P(F ) = P2000 (k < 4) = P2000 (0 ≤ k ≤ 3) =

= P2000 (0) + P2000 (1) + P2000 (2) + P2000 (3).

Тогда искомую вероятность найдем по формуле

P(F ) = P2000 (k ≥ 4)=1 − P(F ) =

=1 − (P2000 (0) + P2000 (1) + P2000 (2) + P2000 (3)).

61

Вероятности входящие в каждое слагаемое формулы (4.3) вычисляются используя формулу Пуассона (4.11)

Значение указанных функций Пуассона можно найти, либо используя инженерный калькулятор, либо по таблице приложения 3 при λ = 5 и соответствующих значениях k.

Тогда искомая вероятность

P(F ) = P2000 (k ≥ 4) ≈ 1 − P(0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404) =

= 1 − 0,265 = 0,735.

Ответ: а) P2000 (3) ≈ 0,1404 ; б) P2000 (k ≥ 4)≈ 0,735.

62

Тема 5

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Понятие случайной величины – одно из фундаментальных в теории вероятностей. Оно тесно связано с понятием случайного события, являясь в некотором смысле его обобщением. Здесь также первичным служит испытание, но результат теперь характеризуется не альтернативным исходом (появляется или нет событие), а некоторым числом (например, число k появлений события в п повторных независимых испытаниях; число очков, выбиваемых стрелком; размер вклада на случайно выбранном в сберкассе счете и т.д.). Случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию задачи. Связь со случайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (то есть выполнение равенства X = xi ) есть случайное событие, характеризуемое вероятностью P(X = xi )= pi .

В данной теме рассматриваются дискретные случайные величины, характеризуемые конечным или счетным множеством возможных значений xi и соответствующими им вероятностями pi = P(X = xi ).

Понятие непрерывной случайной величины является непосредственным обобщением понятия дискретной случайной величины. Оно приводит к новому понятию плотности вероятности и к новым определениям математического ожидания и дисперсии.

63

5.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последо-

вательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной. (Более точное определение непрерывной случайной величины формулируется используя понятия функции распределения вероятностей или плотности распределения вероятностей).

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z..., а их значения – строчными буквами с индексами, например, x1 ,x2 ,x3 ,K.

Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величи-

ны называется соответствие между возможными значениями x1 , x2 , x3 ,K этой случайной величины и соответствующими им вероятностями p1 , p2 , p3 ,K .

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически, то есть с помощью формул.

Если дискретная случайная величина Х принимает конечное множество значений x1 , x2 ,..., xn соответственно с вероятностями p1 , p2 ,..., pn , то закон распределения можно задать в виде таблицы 1.

Таблица 1

64

Так как события ( X = xk , k =1, 2,K, n ) образуют полную группу событий, то в таблице 1 сумма вероятностей равна единице, то

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (xi , pi ) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ло-

маная линия называется многоугольником распределения слу-

чайной величины X.

Если дискретная случайная величина Х принимает бесконеч-

Ряд, составленный из чисел p1 , p2 , p3 ,K таблицы 2 сходится и его сумма равна единице.

Первый тип задач связан с построением для заданной случайной величины закона распределения.

Решение подобных задач требует прежде всего четких определений случайной величины и испытания, количественный результат которого характеризуется значениями x1 , x2 ,K, xi ,K, xn .

Затем можно перейти к построению закона распределения случайной величины, а точнее – к вычислению вероятностей pi как вероятностей событий X = xi . Здесь могут быть использованы приемы и методы, рассмотренные при решении предыдущих задач.

65