Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
Тогда, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
P(F)= P(H1) P(F | H1)+ P(H2 ) P(F | H2 )+ P(H3 ) P(F | H3 )= = 0,3 0,02+0,2 0,03+0,5 0,01= 0,006+0,006+0,005= 0,017.
Подставляя найденные вероятности в формулу Байеса, получим вероятность искомого события:
P(H |
3 |
| F )= |
0,5 0,01 |
= |
0,005 |
≈ 0,294 |
. |
|
|
||||||
|
0,017 |
|
0,017 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Ответ: искомая вероятность P(H 3 | F )≈ 0,294 .
46
Тема 4.
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
В этой теме изучается так называемая схема повторных независимых испытаний или схема Бернулли. Схема Бернулли подразумевает выполнение четырех основных условий: а) количество повторных испытаний конечно, б) они являются независимыми; в) исходом каждого испытания является либо «успех» либо «неудача»; г) в каждом испытании вероятность «успеха» постоянна. В этой теме рассматриваются п последовательных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью p = P( A) . Результат испытаний – появление k раз события А, которое чередуется в любом порядке с n − k
раз не появлением события А, то есть появлением события A – события противоположного событию A.
Перечислим основные формулы и вычислительные схемы.
1. Для нахождения вероятности того, что событие A наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли, применяется формула Бернулли1:
|
P (k) = C k p k q n−k |
, |
(4.1) |
|
|
n |
n |
||
где |
p – вероятность наступления события A в каждом испыта- |
|||
нии; |
q =1 − p – вероятность события, противоположного событию |
|||
A, то есть q = P( A) =1− P( A) =1− p ;
1 Я. Бернулли (1654–1705) – швейцарский математик.
47
Cnk = |
n! |
= |
n( n −1 )K(n − (k −1)) |
= |
n( n −1 )K(n − (k −1)) |
|
|
k ! (n − k )! |
|
1 2 K k |
. |
||||
|
|
|
k ! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы Бернулли следует, что |
|
|
|
||||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
∑Pn |
(k) = ∑Cnk pk qn−k |
=1 |
|
|
|
|
|
k =0 |
k =0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Иногда необходимо бывает найти наивероятнейшее число (k0 ), то есть число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях. Наивероятней-
шее значение k0 числа наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, является целым числом и находится в интервале, который можно найти по формуле
np − q ≤ k0 ≤ np + p . |
(4.2) |
Длина указанного интервала равна единице, поэтому если границы интервала – целые числа, то имеются два наивероятнейших числа, которые совпадают с граничными значениями интервала, определяемого формулой (4.2), в противном случае – только одно, которое определяется по формуле (4.2) и выбирается из усло-
вия того, что наивероятнейшее число k 0 – целое. |
|
3. Вероятность того, что событие A наступит не менее k1 |
раз и |
не более k2 раз при проведении n независимых испытаний, |
удов- |
летворяющих схеме Бернулли можно найти по формуле: |
|
Pn (k1 ≤ k ≤ k2 )= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (k2 )= ∑k2 Pn (k). |
(4.3) |
k=k1 |
|
48
4. Вероятность Pn (1≤ k ≤ n) того, что событие A наступит хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, можно
найти по формуле: |
|
Pn (1≤ k ≤ n)=1−qn . |
(4.4) |
5. Вероятность того, что событие A при проведении n независимых испытаний наступит:
а) менее k1 раз, определяется по формуле
Pn (k < k1 )= Pn (0 ≤ k ≤ k1 −1)= Pn (0)+ Pn (1)+ Pn (2)+K+ Pn (k1 −1); |
(4.5) |
б) более k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k > k1 )= Pn (k1 +1≤ k ≤ n)= Pn (k1 +1)+ Pn (k1 + 2)+K+ Pn (n); |
(4.6) |
в) не менее k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k ≥ k1 )= Pn (k1 ≤ k ≤ n)= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (n); |
(4.7) |
г) не более k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k ≤ k1 )= Pn (0 ≤ k ≤ k1 )= Pn (0)+ Pn (1)+ Pn (2)+K+ Pn (k1 ). |
(4.8) |
Формулы (4.5) – (4.8) являются следствием формулы (4.3).
6. Если число независимых испытаний велико, то для нахождения вероятности того, что событие A наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли, формулу Бернулли применять (чисто технически) достаточно сложно. В этих случаях применяют асимптотические (локаль-
49
ную и интегральную) формулы Муавра – Лапласа и асимптотическую формулу Пуассона.
а). Локальная формула Муавра – Лапласа2:
|
|
|
|
|
Pn (k) ≈ |
ϕ(x) |
, |
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
npq |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ϕ(x) = |
1 |
e |
−x2 2 |
, x = |
k − np |
(таблица значений функции |
ϕ( x ) |
||
2π |
|
npq |
|||||||
приведена в приложении 1 в настоящих методических указаниях).
Функция ϕ(x) обладает следующими свойствами:
1) |
функция ϕ(x) является четной, то есть ϕ(−x) = ϕ(x) ; |
|
2) |
функции ϕ(x) монотонно убывает при положительных зна- |
|
чениях аргумента; |
|
|
3) |
limϕ(x)= 0 |
; |
x→∞ |
||
4) |
для всех значений x > 5 значение функции ϕ(x) ≈ 0 . |
|
б). Интегральная формула Муавра – Лапласа:
|
|
|
Pn (a ≤ k ≤ b) ≈ Φ(x2 ) − Φ(x1 ) , |
|
|
(4.10) |
||||
где Φ(x) = |
1 |
x |
−z 2 2 |
dz – функция Лапласа, x1 |
= |
a − np |
, x2 |
= |
b − np |
|
|
∫e |
|
|
|
|
|||||
|
|
npq |
npq |
|||||||
2π |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
(таблица функции Лапласа приведена в приложении 2 в настоящих методических указаниях).
Функция Φ(x) обладает следующими свойствами:
1) функция Φ(x) является нечетной, то есть Φ(−x) = −Φ(x) ;
2 А. Муавр (1667–1754) – английский математик; П. Лаплас (1749–1827) – французский математик и астроном.
50