Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
событие Н 3 – наудачу выбранная лампа принадлежит третьей партии.
Так как события образуют полную группу событий и событие F может наступить с одним из этих событийгипотез, то для нахождения вероятности события F можно воспользоваться формулой полной вероятности (3.12).
3
P(F )= ∑ P(H i ) P(F | H i )
i =1
Найдем вероятности гипотез H1 , H 2 , H 3 , то есть P(H1 ),
P(H 2 ), P(H 3 ), используя классическое определение вероятности
P(Hi ) = mni ,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; mi – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H i .
Общее число равновозможных элементарных исходов испытания n = 20 + 30 + 50 = 100 . Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H1 (то есть события, состоящего в том, что выбранная наудачу лампа из первой партии) равно m1 = 20 .
Тогда вероятность события H1 :
P(H1 ) = |
m1 |
= |
20 |
|
= |
|
20 |
= 0,2 . |
|
n |
20 + 30 |
+ 50 |
100 |
||||||
|
|
|
|
||||||
Аналогично находим вероятности событий H2 и H 3 .
41
Для события H 2 |
имеем: n = 100 |
и m2 |
|
= 30 . Тогда |
|||||||||||
P(H2 ) = |
|
m2 |
= |
|
|
30 |
|
|
= |
|
30 |
= 0,3 . |
|||
|
n |
|
|
+ 30 |
+ 50 |
100 |
|||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|||||||||
Для события H3 |
имеем: n = 100 |
и m3 = 50 . Тогда |
|||||||||||||
P(H 3 ) = |
m3 |
|
= |
|
|
50 |
|
|
= |
|
50 |
= 0,5 . |
|||
n |
|
|
|
+ 30 |
+ 50 |
100 |
|||||||||
|
|
|
20 |
|
|
||||||||||
Таким образом, по условию, вероятности гипотез:
P(H1 ) = 0,2 ,
P(H2 ) = 0,3 ,
P(H3 ) = 0,5 .
Найдем условные вероятности события F при условии, что события H1 , H 2 , H 3 соответственно наступили, то есть вероятности
P(F | H1), P(F | H2 ), P(F | H3 ). В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
P(F | H1) = 0,7,
P(F | H2 )= 0,8,
P(F | H3 ) = 0,9 .
Тогда, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
42
P(F)= P(H1) P(F | H1 )+ P(H2 ) P(F | H2 )+ P(H3 ) P(F | H3 )=
= 0,2 0,7 +0,3 0,8 +0,5 0,9 = 0,14+0,24+0,45 = 0,83.
Ответ: искомая вероятность P(F ) = 0,83 .
Задание № 5 связано с применением формулы Байеса (3.13).
Задание 5
В больницу поступили пациенты трех социальных групп. 30% пациентов принадлежат первой социальной группе, 20% – второй и 50% – третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителей каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Испытание состоит в том, что наудачу берут анализ у одного пациента из 100% (30%+20%+50%=100%) поступивших в больницу.
Рассмотрим событие F – выбранный пациент болен туберкулезом.
Рассмотрим гипотезы:
событие Н1 – наудачу выбранный пациент принадлежит к первой социальной группе;
событие Н 2 – наудачу выбранный пациент принадлежит ко второй социальной группе;
событие Н 3 – наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события
H 3 F (условную вероятность события Н 3 при условии, что собы-
43
тие F наступило, то есть вероятность P(H 3 F ) или P(H 3 | F )), то есть события состоящего в том, что наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе, если известно, что он болен туберкулезом.
Так как события H1 , H 2 , H 3 образуют полную группу собы-
тий, и событие F произошло вместе с одним из этих событий- |
|||||
гипотез, то для нахождения вероятности |
PF (H 3 ) (или P(H 3 |
|
F )) |
||
|
|||||
воспользуемся формулой Байеса (3.13): |
|
|
|
|
|
P(H 3 | F )= |
P(H 3 ) P(F | H 3 ) |
||||
P(F ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
где P(F ) – полная вероятность события F, которая может быть определена по формуле полной вероятности (3.12):
3
P(F )= ∑P(H i ) P(F | H i ).
i =1
Для применения формулы Байеса и формулы полной вероятности необходимо найти вероятности гипотез H1 , H 2 , H 3 , то есть
P(H1 ), P(H 2 ), P(H 3 ). Это можно осуществить, используя классическое определение вероятности:
m P(H i ) = ni ,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; mi – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H i .
44
В нашем случае общее число равновозможных элементарных исходов испытания n = 100% ( 30% + 20% + 50% =100% ). Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H1 , то есть события, состоящего в том, что наудачу выбранный
пациент принадлежит к первой социальной |
группе, равно |
|||||||||||
m1 = 30% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда вероятность события H1 : |
|
|
||||||||||
P(H1 ) = |
m1 |
= |
|
30% |
|
= 0,3 . |
|
|||||
n |
100% |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично находим вероятности событий H 2 |
и H 3 : |
|||||||||||
P(H 2 ) = |
m2 |
|
= |
|
20% |
|
= 0,2 ; |
|
||||
|
|
|
100% |
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
P(H3 ) = |
m3 |
|
= |
|
50% |
|
= 0,5 . |
|
||||
|
100% |
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
Таким образом, по условию вероятности гипотез: P(H1 )= 0,3 ,
P(H 2 )= 0,2 , P(H 3 )= 0,5 .
Найдем условные вероятности события A при условии, что события H1 , H 2 , H 3 соответственно наступили, то есть вероятно-
сти P(F | H1 ), P(F | H2 ), P(F | H3 ). В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
P(F | H1)= 0,02,
P(F | H2 ) = 0,03,
P(F | H3 )= 0,01.
45