Материал: Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

В ряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из которых требуется выбрать оптимальное решение. Например, одно компенсирующее устройство заданной мощности Qk можно разместить в узлах 1,2, ... п системы электроснабжения. Требуется выбрать оптимальный узел размещения компенсирующего устройства, соответствующий выбранному критерию.

В ряде других задач искомые переменные могут принимать не любые, а только определенные значения, из которых требуется выбрать значения переменных, отвечающие оптимальному решению. Например, в заданном узле системы электроснабжения нужно установить компенсирующее устройство, мощность которого может быть равной значениям Qk1, Qk2… Qkn Из этого ряда требуется выбрать оптимальное значение мощности компенсирующего устройства, соответствующее выбранному критерию.

Указанные задачи относятся к задачам выбора вариантов из числа заданных и решаются методами дискретного программирования. В этих методах наряду с традиционными переменными используются двоичные переменные, возможности которых по заданию логических условий рассмотрены в п. 3.2.

Математическая модель задач дискретного программирования аналогична рассмотренным выше моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Зависимости между переменными в целевой функции и системе ограничений могут быть как линейными, так и нелинейными. Задаваемые значения дискретных переменных могут быть любыми, в том числе и целочисленными.

Пусть в оптимизационной задаче имеется п искомых переменных(i=1, 2, ... n). Дискретные значения каждой переменной заданы. В оптимальное решение должны войти к переменных (k < п). Каждой переменной xi поставим в соответствие двоичную переменную 8,. Если в процессе решения задачи di=1, то переменная xi, войдет в оптимальное решение; если di=0, то переменная xt не войдет в оптимальное решение.

Целевая функция включает в себя и дискретные х1 х2, ... хn двоичные переменные

                             (3.7)

В систему ограничений входят и дискретные и двоичные переменные

                                                           (3.8)

К этой системе добавляются ограничения вида

                               (3.9)

d,- двоичные, i =1, 2, ... п.

Граничные условия, как таковые, не записываем, поскольку возможные значения дискретных переменных являются заданными, а значения двоичных переменных могут быть только 0 или 1.

Не вдаваясь в подробности методов дискретного программирования, отметим, что программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать оптимизационные задачи с дискретными переменными. Поэтому предоставим пользователю составление математической модели оптимизационной задачи и ввод исходной информации в компьютер, а вычислительную процедуру предоставим компьютеру.

Пример. Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения (рис. 3.1) оптимального узла установки компенсирующего устройства, заданной мощности Qk. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Исходные данные:

напряжение схемы U= 10 кВ;

сопротивления линий Ri=0,4, i?2=0,5, R3=0,6 Ом;

реактивные нагрузки узлов 1, 2 и 3 Qi=600, <22=500, <2з=400 квар;

мощность компенсирующего устройства Qk =1000 квар

Рис. 3.1 Схема электроснабжения

Решение. В рассматриваемой схеме имеются три узла 1, 2 и 3, в каждом из которых можно установить компенсирующее устройство. Обозначим переменными Qk1, Qk2 и Qk3 мощности компенсирующих устройств, размещаемых соответственно в узлах 1, 2 и 3. Это дискретные переменные, каждая из которых может принимать два значения 0 или 1000 квар.

Каждой переменной Qk1, Qk2 и Qk3 поставим в соответствие двоичную переменную d1, d2 и d3.

Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:

где ai=Ri/U2 (i=1,2,3).

Выражение для потерь мощности предусматривает возможность установки компенсирующего устройства в каждом из трех узлов. Однако в зависимости от величины двоичной переменной компенсирующее устройство в узле i должно быть установлено при di =1 или не должно быть установлено при di =0.

Перейдем к системе ограничений. Поскольку компенсирующее устройство может быть установлено только в одном узле, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

 и  - двоичные.

Величина дискретной переменной Qkl будет зависеть от значения соответствующей двоичной переменной di;. Переменная Qk, = Qk при di=l и Qki = 0 при di =0. Запишем эти условия

Qk1= Qkd1;

Qk2= Qkd2;

Qk3= Qkd3.

Граничные условия не записываем, поскольку имеем только двоичные и дискретные переменные.

Результаты решения задачи с помощью программного обеспечения Excel приведены в приложении П5:

d1=0, d2 =1, d3 = 0, Qk1 = 0, Qk2 = 1000 квар, Qk3= 0, DР - 2010 Вт.

Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности компенсирующее устройство мощностью 1000 квар следует установить в узле 2 схемы электроснабжения.

Пример. Составить математическую модель для определения оптимальной мощности компенсирующего устройства в узле 2 схемы электроснабжения (рис. 5.1). Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности.

Исходные данные те же, что и в примере 9. Мощность компенсирующего устройства может принимать следующие дискретные значения: 1100, 1200 или 1300 квар.

Решение. В рассматриваемом примере имеем одну дискретную переменную - мощность компенсирующего устройства во 2-м узле. Эта переменная может принимать три дискретных значения Qk1=1100, Qk2=1200 и Qk3=1300 квар. Каждому значению дискретной переменной поставим в соответствие двоичную переменную  и .

Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:

где ai/U2 (i=l, 2, 3).

Рассмотрим ограничения. Поскольку дискретная переменная должна принять только одно значение, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

 и  - двоичные.

Других ограничений нет.

Граничные условия не записываем, поскольку имеем только дискретную и двоичные переменные.

Результаты решения задачи:

d1=0, d2 =1, d3 = 0, Qk1 = 0, Qk2 = 1200 квар, Qk3= 0, DР - 1770 Вт.

Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности в схеме электроснабжения величину мощности компенсирующего устройства в узле 2 следует принять равной 1200 квар.

Выводы по третьей главе

1. Наиболее простыми задачами нелинейного программирования являются задачи безусловной оптимизации. В этих задачах ищется абсолютный экстремум целевой функции без ограничений и граничных условий.

. Одной из важных оптимизационных задач электроэнергетики является задача распределения суммарной активной мощности потребителей энергосистемы между электрическими станциями этой системы. Рассмотрим эту задачу в общем виде для наиболее простого случая, когда в энергосистеме имеются только тепловые электростанции, работающие на одном виде топлива.

Глава 4. Оптимизационные задачи при случайной исходной информации и многокритериальные задачи

.1 Основные понятия

В предыдущих главах рассматривалось решение оптимизационных задач, в которых вся исходная информация была однозначно определена. Такая информация называется детерминированной. Примером детерминированной исходной информации могут служить однозначные значения коэффициентов zi <3у и aij и bj (i=1 1, 2,...п; j=1, 2,...m) в линейной математической модели (2.1). В практических задачах далеко не всегда исходная информация бывает детерминированной.

Достаточно часто исходная информация или ее часть представляют собой случайные величины или случайные функции. В частности, мощности нагрузок в проектируемой системе электроснабжения можно считать случайными величинами, а изменения во времени напряжений в узлах существующей системы электроснабжения - случайными функциями. Для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией используются методы стохастического программирования.

Известно, что случайными величинами занимается раздел высшей математики - теория вероятностей. Поэтому прежде чем перейти к методам решения оптимизационных задач вспомним некоторые понятия этой теории.

Случайной величиной s называется такая величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина s может быть непрерывной или дискретной. В заданном диапазоне изменения случайной величины количество значений дискретной случайной величины ограничено, а количество значений непрерывной случайной величины не ограничено. Примером непрерывной случайной величины является величина напряжения в некотором узле системы электроснабжения. Примером дискретной случайной величины является количество генераторов, одновременно работающих в энергосистеме.

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, полученное в результате п реализаций:

                               (4.1)

где Si - значение случайной величины в i-й реализации.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания:

                                                                    (4.2)

Важной характеристикой случайной величины служит вероятность Р появления этой случайной величины в конкретном интервале значений.

Для количественной оценки вероятности случайной величины вводится функция распределения вероятности. Допустим, что случайная величина s может принимать значения от -¥ до +¥. Функция распределения P(s) этой случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от -¥ до s. Следовательно,

Р(-¥) = 0, Р(+¥)=1                                                                           (4.3)

Наибольшее распространение на практике получил нормальный закон распределения. В соответствии с этим законом с вероятностью 0,999 случайная величина s (-00 < s < +00) находится в интервале

M[s] - 3s[s] £ s £ M[s] + 3s[s]                                                         (4.4)

что и принимается за действительные пределы изменения случайной величины s.

При решении практических задач достаточно часто применяют нормальный стандартный закон распределения. Этот закон описывает вероятность появления стандартной случайной величины h, имеющей математическое ожидание М[h]=0 и среднеквадратичное отклонение s[h]=1, в интервале -3 £ h £ 3 (рис. 4.1).

С помощью этого графика решаются две обратные друг другу задачи. С одной стороны, определяется, каково должно быть значение случайной величины h, чтобы вероятность ее появления составила, например Р(h)=0,8. Это значение случайной величины составляет h £ 0,84. С другой стороны, определяется вероятность появления случайной величины, не превышающей, например значения 0,84 P (h£0,84). Эта вероятность составляет Р(h)=0,8.

Рис. 4.1 Функция распределения нормального стандартного закона

В Excel эти вычисления выполняются с помощью статистических функций НОРМСТОБР(0,8)=0,84 и НОРМСТРАСП(0,84) = 0,8 после обращения к мастеру функций fх в главном меню.

От функции распределения нормального стандартного закона можно перейти к функции распределения нормального закона любой cлучайной величины s оптимизационной задачи. Связь между этой случайной величиной h стандартной случайной величиной т) выражается зависимостью

 = M[s] + hs[s]                                                                                 (4.5)

4.2 Математические модели стохастических задач

Следует иметь в виду, что универсальных методов решения задач стохастического программирования, пригодных для всех классов оптимизационных задач, нет. Поэтому ограничимся рассмотрением математических моделей только одного класса стохастических задач, а именно, стохастических задач линейного программирования.

Напомним, что математическая модель задачи линейного программирования, включающая в себя целевую функцию, ограничения и граничные условия, имеет следующий вид:

                                   (4.6)

В детерминированной постановке оптимизационной задачи коэффициенты zi, аji и bj (i=1,2,... n; j=1,2,... m) и границы di и Di диапазона изменения переменных однозначно определены.

Если коэффициенты zi целевой функции являются случайными величинами, ищется экстремальное значение математического ожидания целевой функции

М[Z]® extr                                                                                       (4.7)

Если коэффициенты аji и (или) bj системы ограничений являются случайными величинами, то для каждого j-го ограничения задается значение вероятности Рзад j, с которой должно выполняться это ограничение. Вероятность выполнения каждого j-го ограничения должна быть не меньше заданной

            (4.8)

Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения.

Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид:

М[Z]® extr;

            (4.9)

4.3 Детерминированный эквивалент стохастической задачи

Стохастические задачи, математические модели которых представлены в виде (4.9), непосредственно решены быть не могут. Как правило, задачи со случайной исходной информацией сводят к их детерминированному эквиваленту. Для этого случайные величины заменяются их характеристиками (математическим ожиданием, стандартным отклонением) и считается, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Если случайными величинами являются коэффициенты Z; целевой функции, эти коэффициенты заменяются их математическими ожиданиями. В результате такой замены получим детерминированный эквивалент целевой функции

[Z] = M[z1]x1+M[z2]x2+...M[zn]xn ® extr.                                    (4.10)

Для каждого j-го ограничения задается вероятность Рзад j с которой должно выполняться это ограничение. По значению Рзад j находится значение стандартной случайной величины h. С учетом соотношения (4.5) осуществляется переход от стандартной случайной величины h к случайным величинам оптимизационной задачи аji и bj

Если случайной величиной являются коэффициенты аji то детерминированный эквиваленту j-го ограничения будет иметь вид

          (4.11)

Если случайной величиной являются коэффициенты аji, то детерминированный эквиваленту j-го ограничения будет иметь вид

              (4.12)

Граничные условия остаются без изменения в виде