Материал: Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

Таким образом, математическая модель стохастической задачи сводится к детерминированному эквиваленту (4.10), (4.11) и (4.12).

Следует отметить, что в основной массе стохастических задач далеко не все коэффициенты zi, аji 1 и bj (i=1,2,...n; j=1,2,...m) могут быть случайными величинами. Часто такими величинами могут быть один или несколько коэффициентов.

Пример. Составить математическую модель задачи распределения ресурсов (примеры 1 и 2) для случая, когда количество сырьевого ресурса на предприятии является случайной величиной. Известна поставка сырья за некоторый предыдущий период.

Решение. В примерах 1 и 2 была получена следующая детерминированная математическая модель задачи:

В п. 4.1. к этой модели было добавлено условие целочисленности переменных:

В поставленной задаче коэффициент Ь3 (количество сырьевого ресурса) является случайной величиной.

Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл. 6.1.

Таблица 4.1

В этой же таблице приведены рассчитанные по выражениям (4.1) и (4.2) значения математического ожидания  и стандартного отклонения ст  сырьевого ресурса. Отметим, что математическое

ожидание сырьевого ресурса равно его детерминированному значению (150 е.с).

Поскольку в 3-м ограничении b3 является случайной величиной, перепишем это ограничение в соответствии с выражением (4.11):

или

x1+ 6х2+$х3<150 +h23,9.

Зададимся вероятностями выполнения 3-го ограничения Рзад 3 = 0,4; 0,5 и 0,6.

Тогда в соответствии с рис. 6.1 стандартная случайная величина будет соответственно равна h = - 0,25; 0 и 0,25. Рассматриваемое 3-е ограничение будет иметь вид

х2+6х2< 150 - 0,2523,9

или

x1+ 6x2+8 х3< 150

или

x1+ 6х2+8 х3 < 150 + 0,2523,9.

Видно, что при вероятностных исходных данных в ограничении появляется дополнительный сырьевой ресурс. Величина и знак этого дополнительного ресурса зависят от Рзад 3 задаваемой вероятности выполнения ограничения.

Полученный детерминированный эквивалент рассматриваемой стохастической задачи имеет следующий вид:

целевая функция

 = 8x1+llx2+12x3 ® max;

ограничения

х1+ 2х2 + Зх3£50,

x1+5,5x2+4x3£100,

4х1+ 6х2+8 х3 £ 150 + h23,9;

х1+х2+х5 ³ 15;

условие целочисленности

хi - целое;

граничные условия³0, i=l, 2, 3.

Решение этой стохастической задачи полностью аналогично решению линейной целочисленной задачи.

Приведем несколько примеров.

Периодичность плановых предупредительных ремонтов, Тпл служащие для технико - экономического обоснования правил технической эксплуатации оптимизируется обычно по критерию минимума ежегодных затрат и недоотпуска энергии:

где - суммарная стоимость предупредительных ремонтов; - суммарная стоимость видов аварийных ремонтов и недоотпуска электроэнергии;

- виды отказов, характеризуемых интенсивностью. Последнее выражение однозначно соответствует критерию минимума удельных затрат:

где  - параметр потока отказов; Тпл - периодичность предупредительных ремонтов;  - параметр потока видов отказов, аппроксимируемых функцией

Дифференцируя последнее по Тплj и приравнивая соответствующие частные произведения к нулю, получим условие оптимума по каждому Тплj:

Значение Тпл, удовлетворяющее условию (6) является оптимальным.

Рис. 4.2 Графическое изображение оптимальной периодичности техобслуживания при многофакторный отказа

4.3 Оптимизационные задачи при недетерминированной исходной информации

В реальных оптимизационных задачах часто приходится искать решение в условиях неопределенности. Основной причиной неопределенности является недостаток исходной информации. Применительно к области электроэнергетики примером неопределенной (недетерминированной) информации может служить перспективный рост мощностей в развивающейся электроэнергетической системе.

Для решения оптимизационных задач с недетерминированной информацией методы математического программирования не пригодны. Здесь используется вычислительный аппарат теории игр.

В соответствии с этой теорией оптимизационная задача представляется игрой двух игроков. Первый игрок - человек, который принимает решение. В приведенном примере человек должен принять решение по расположению в энергосистеме новых электростанций, строительству линий электропередачи и подстанций. Человек -разумный игрок. Его стратегия - максимальный выигрыш или минимальный проигрыш. Другими словами - человек минимизирует затраты.

Второй игрок - энергосистема, а точнее перспективные мощности потребителей энергии. Как будет развиваться энергосистема, каковы будут мощности потребителей в перспективе -однозначно неизвестно. Стратегия энергосистемы - случайная. Она не стремится к максимальному выигрышу. Следовательно, энергосистему нельзя считать разумным игроком.

При решении оптимизационной задачи составляется платежная матрица, которая представляет собой таблицу затрат в игре двух игроков. Строки матрицы соответствуют решениям (ходам), которые может принять первый игрок. Столбцы - ходам, которые может сделать второй игрок. Процесс составления платежной матрицы достаточно сложен и в каждом конкретном случае может быть различным. Этот этап решения задачи позднее рассмотрим на конкретном примере.

Допустим, что платежная матрица составлена (табл.4.1).

Имеется набор ходов человека, которые обозначим как x1, х2, ... хп. Имеется набор ходов энергосистемы у1, у2,…ут. Если человек выберет ход хi, а система ответит ходом уj то затраты при таком раскладе составят zij Оптимальное решение выбирается в результате анализа платежной матрицы.

Таблица 4.2

Рассмотрим основные стратегии выбора решения, которые предлагает теория игр.

1.       Стратегия минимума средних затрат. В соответствии с этой стратегией для каждого хода х; человека определяются средние затраты по всем возможным ходам системы

                                   (4.13)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i -1, 2, ... п средних затрат

                               (4.14)

При этой стратегии считается, что все ходы системы имеют одинаковую вероятность, равную 1/т. Для реальных задач такое предположение, как правило, не является истиной.

2.       Миниминная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход хi человека система ответит ходом уj соответствующим минимальным затратам

                                  (4.15)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, ... п минимальных затрат

                                                                         (4.16)

Принятие решения по этой стратегии может привести к крупным просчетам, поскольку здесь учитывается самая благоприятная ситуация. Систему нельзя считать разумным игроком, однако она не будет играть и в поддавки.

. Минимаксная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход хi человека система ответит ходом yj соответствующим максимальным затратам:

                                                                             (4.17)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, ... п максимальных затрат:

                                                                         (4.18)

В этой стратегии учитывается самая неблагоприятная ситуация. Считается, что система является разумным игроком и стремится к максимальному выигрышу. Такое предположение не соответствует действительности.

. Стратегия Гурвица. Эта стратегия учитывает как самую благоприятную, так и самую неблагоприятную ситуации. Здесь решение выбирается по условию

                                        (4.19)

где коэффициенты k и (1-k) играют роль весовых коэффициентов, с которыми учитываются минимаксная и миниминная стратегии. При k=1 имеем минимаксную стратегию, а при k=0 имеем миниминную стратегию.

Наибольшую трудность при применении этой стратегии представляет определение величины весовых коэффициентов k и (1-k). Теория игр ответа на этот вопрос не дает. Для каждой конкретной задачи весовые коэффициенты определяются индивидуально, на основе имеющегося опыта.

Таким образом, для решения оптимизационной задачи при недетерминированной исходной информации теория игр выдвигает ряд стратегий. Поскольку формально все стратегии равноправны, окончательное решение должно выбираться на основе:

анализа решений, полученных по каждой стратегии;

опыта проектировщика;

особенностей конкретной задачи.

Пример. В развивающейся энергосистеме требуется определить оптимальный объем ввода генерирующих мощностей электростанций. Перспективный рост энергопотребления в системе недостаточно определен. Известно лишь, что суммарная мощность потребителей энергосистемы в будущем может иметь значения 15, 20, 25 и 30 е.м. (единиц мощности).

На момент принятия решения мощность собственных электростанций энергосистемы составляет 10 е.м. Затраты на ввод каждой новой единицы мощности составляют 5 у.е./е.м.

В перспективе энергосистема может оказаться на самобалансе (будет обеспечивать потребителей за счет собственных электростанций) или при дефиците мощности. Во втором случае недостающую мощность можно получить из соседней энергосистемы. При этом за каждую единицу мощности, взятую из соседней системы, необходимо платить 7 у.е./е.м.

Решение. Имеем четыре возможных хода энергосистемы (y1=15; y2=20; y3=25; y4=30 е.м.) Примем четыре возможных хода человека (x1=15; x2=20; x3=25; x4=30е.м.). Составим платежную матрицу и заполним ее (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Процесс заполнения платежной матрицы поясним на следующем примере. Человек выбирает ход х2 = 20 е.м., а энергосистема - ход у3 = 25 е.м. В соответствии с ходом человека дополнительно вводятся 10 е.м. Затраты на их ввод составят 105=50 у.е. В соответствии с ходом энергосистемы дефицит мощности составит 5 е.м. Эту мощность необходимо купить в соседней энергосистеме. Затраты на покупку составят 57=35 у.е. Итоговые затраты составят 50+35=85 у.е. Остальные клетки платежной матрицы заполняются аналогично.

Рассмотрим выбор решений по различным стратегиям теории игр.

Средние затраты для каждого хода человека составят:

Zcp1= (25+60+95+130)/4 = 77,5 у.е.

Z cp2= (50+50+85+120)/4 = 76,25 у.е.

Zcp3= (75+75+75+110)/4 = 83,75 у.е.

Zcp4= (100+100+100+100)/4 = 100 у.е.

По стратегии средних затрат следует принять решение х2, соответствующее вводу 10 е.м.

Минимальные затраты для каждого хода человека составят:

Zmin1= min(25+60+95+130) =25 у.е.= min(50+50+85+120) = 50 у.е.3= min(75+75+75+l 10) = 75 у.е.4= min(100+100+100+100) = 100 у.е.

По миниминной стратегии следует принять решение x4, соответствующее вводу 5 е.м.

Максимальные затраты для каждого хода человека составят:

Zmax1= max(25+60+95+130) =130 у.е. Zmax2=max(50+50+85+120)= 120 у.е. Zmax3=max(75+75+75+110)= 110 у.е. max(100+100+100+100) = 100 у.е.