Материал: Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

                                 (1.4)

Если случайными величинами являются коэффициенты или , то, детерминированными эквивалентами -го ограничения будут соответственно выражения:

                                    (1.5)

где  - значение стандартной случайной величины, вычисляемое по значению вероятности  каждого  ограничения.

Обобщенная целевая функция многокритериальных многопараметрических задач электроснабжения записывается следующим образом:

                                                         (1.5)

где zk - целевая функция, выражающая k-й критерий.

Zkнор - нормированное значение k-й целевой функции;

 - коэффициент века k-й целевой функции;

S - количество принятых критериев.

Деленные zk на нормированное значение Zkнор приводит каждую целевую функцию к единым относительным единицам.

Решение многокритериальных задач не требует специфики по сравнению с однокритериальной задачей.

Решение выше приведенных систем выполняется известными методами вычислительной математики. При линейной системе используется метод Гаусса, а при нелинейной - метод Ньютона с помощью программного обеспечения Excel. 7.0.

1.3 Перечень задач электроснабжения, рекомендуемые решению оптимизационными методами

Вопрос оптимального управления ресурсами в системе электроснабжения в настоящее время имеет первостепенное значение. В литературе имеется достаточное число опубликованных работ, отражающих управление ресурсами при решении вопросов обеспечения надежности и качества электроэнергии. Назрела необходимость разрешить перечень задач, решаемых оптимизационными методами как на стадии практирования так на стадии эксплуатации, модернизации и реконструктирования.

Необходимо сказать что оптимизационные методы приминяются при решении прямой задачи, обеспечивающие наиболее эффективное значение рассматриваемы показателей надежности и качества электроэнергии при заданных затратах, так и решении обратной задачи, при котором заданное значение показателей достигается при минимальных затратах.

Ниже приведем основные задачи электроснабжения электрифицированных железных дорог решаемых на различных стадиях с учетом известных в настоящая время математических методов оптимизации.

. Оптимизация схемы электрической сети по критерию минимума удельных затрат.

. Выбор поперечного сечения подвески тяговой сети с учетом минимума потерь энергии в тяговых сетях.

. Расчет расстояний между тяговыми подстанциями и их нагрузок:

. Расчетные режимы и расчетные сроки для определения основных параметров устройств тягового электроснабжения.

. Оптимальное резервирование тяговых подстанций по мощности.

. Распределение заданных компенсирующих устройств по узлам потребления с учетом минимума суммарные затраты и минимума потерь активной мощности.

. Увеличение нагрузочной способности контактной сети с помощью постов секционирования и постов параллельного соединения.

. Оптимизация технического с учетом экономического обслуживания ущерба.

. Оптимизация периодичности профилактического обслуживания тяговых трансформаторов.

. Одноцелевая оптимизация при вероятностной и неопределенной информации.

. Электроэнергии и охраны окружающей среды.

. Задачи оптимального распределения суммарной активной мощности потребителей между подстанциями.

. Оптимизация нагрузок ТП с учетом их внешних характеристик.

. Оптимизация расчетов по заданному графику движения.

. Расчет допустимой несимметричности нагрузки трехфазной системы (критерий напряжение обратной последовательности).

. Оптимизация компенсирующих устройств и коэффициента мощности при поперечной и продольной мощности.

. Расчет оптимальных уровней напряжения в системе электроснабжения.

. Оптимальное распределение числа поездов и интервалов в рассматриваемой зоне.

. Оптимальный уровень напряжения в тяговой сети.

. Оптимизация показателей надежности система электроснабжения.

. Оптимальное резервирование элементов системе электроснабжения.

.Оптимизационные задачи электроснабжения с целочисленными и дискретными переменными.

. Оптимизационные стохастические задачи электроснабжения.

. Оптимизационные задачи электроснабжения по обобщенной целевой функции.

1.4 Математические модели основных элементов систем электроснабжения

При технико - экономическом исследовании, заключающемся в экономическом обосновании принимаемых технических решений, необходимо иметь математическую модель, отражающую основные свойства и закономерности исследуемого объекта.

Рассматриваемые в данной работе математические модели элементов системы электроснабжения характеризуется не только физическими величинами, но и стоимостными показателями. Их можно назвать технико-экономическими моделями.

Ознакомимся с методикой получения моделей элементов систем электроснабжения.

А. Линия электропередачи (ЛЭП). Пусть имеем ЛЭП длиной l, км, и напряжением u, кв. Затраты на потери электроэнергии в линии З, т.руб/год. определяются, как известно, выражением [3]:

где S - передаваемая мощность, кВ.А;

F - сечение проводов, мм2;

Зэ - удельные затраты на компенсацию потерь электроэнергии,

сум/кВт.ч.;

p - удельное сопротивление материала проводов линии;

 - время потерь, ч/год.

Рассматриваемый показатель зависит от ряда свойств ЛЭП, которые характеризуются соответствующими величинами. Каждая из этих величин с математической точки зрения может рассматриваться в качестве независимой переменной, получающей новое численное значение при изменении исходных условий. Изменение любой из этих величин приведет к образованию нового варианта и изменению затрат. Однако с экономической точки зрения существенным для изменения затрат оказывается изменение не отдельных величин, а их вполне определенные совокупности. Например, если уменьшились удельные затраты Зэ , а время потерь во столько раз увеличилось, то затраты ЗDэ - остаются неизменными.

Существенные величины, значения которых требуется обосновать в процессе решения технико-экономических задач, называются оптимизируемыми параметрами. Все же остальные величины, объединяем в обобщенные константы. Они характеризуют исходные данные решаемой задачи.

Например, если оптимизируемым параметром является сечение проводов F, то выражение (6) можно записать в виде

Если же оптимизируемыми параметрами будут величины F и u то выражение (7) примет вид:

Таким образом, в зависимости от характера решаемой задачи одна и та же величина может выступать то как константа, известная до решения задачи, то как оптимизируемый параметр, численное значение которого требуется экономически обосновать в процессе решения задачи. Так как в практических расчетах приходится учитывать не один эффект, а несколько, модель линии электропередачи усложняется. Например, если в качестве технико-экономической модели линии принять выражение приведенных затрат, то модель ЛЭП будет иметь вид [4]:

Здесь , руб./км, и , руб./км мм2, характеризуют соответствующие удельные затраты на строительство характеризуют соответствующие удельные затраты на строительство 1 км линии.

С увеличением сечения проводов затраты на строительство ЛЭП увеличиваются, а затраты на потери энергии снижаются, т.е. по сечению проводов в формуле затрат образуются конкурирующие группы эффектов. Само же сечение можно рассматривать в качестве оптимизируемого параметра, численное которого нужно определить на стадии анализа исследуемого объекта. Объединяя все величины, за исключением оптимизируемого параметра Ғ, в обобщенные константы отдельных эффектов в формуле (9), можно записать в виде

Это формула и рассматривается в дальнейшем как один из возможных вариантов обобщенной технико-экономической модели линии электропередачи. В некоторых случаях в качестве оптимизируемого параметра также рассматривают u. В этом случае в качестве другой модели линии можно иметь в виду формулу

В этой модели два оптимизируемых параметра: сечение проводов F и напряжение линии u. По каждому из оптимизируемых параметров в модели имеются конкурирующие эффекты. Обобщенные константы  и  объединяют целую совокупность свойств отдельных эффектов исследуемого объекта, но не включают оптимизируемые параметры.

Рассмотренные технико-экономические модели (9), (11) справедливы для линии электропередач переменного тока напряжением до 110 кВ включительно. для линий напряжением выше 110 кВ необходимо применять более сложные модели, учитывающие большее количество эффектов, характерных для электропередач данного класса напряжений (например, корона).

Выводы по первой главе

. Особенностью оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог является необходимость применения как классических так и алгоритмических методов, так как в них необходимо комплексное определение требуемых характеристик электроустановок и режимов работы систем, обеспечивающих оптимальный уровень безотказности заданной структуры с учетом ограничений технических характеристик, определяющих качество функционирования.

. Второй особенностью оптимизационных моделей задач электроснабжения являются: необходимость системного подхода, наличие особенностей больших систем, и учет необходимости её развития, т.е. рассмотрение её как динамической системы. Это противоречие нужно решать математически компромиссно, путем взаимных уступок.

активный мощность энергосистема целочисленный

ГЛАВА 2. Нелинейные оптимизационные задачи электроснабжения

.1 Общие положения

Общая задача оптимизации заключается в отыскании экстремума целевой функции

                                                                   (2.1)

п переменных, при т ограничениях, заданных в форме равенств и (или) неравенств

                                                                     (2.2)

и граничных условиях, задающих диапазон изменения переменных

                                                          (2.3)

Если в математической модели оптимизационной задачи имеются нелинейные зависимости, для решения этой задачи используются методы нелинейного программирования.

Большинство реальных оптимизационных задач являются нелинейными.

Как уже отмечалось, нелинейная целевая функция может иметь один или несколько экстремумов. Существующие методы нелинейного программирования позволяют найти один экстремум целевой функции и не дают ответа на вопрос: является ли этот экстремум локальным или глобальным?

Поэтому при многоэкстремальной целевой функции диапазон изменения переменных (1.3) разбивается на ряд более узких диапазонов, например

       (2.4)

в каждом из которых ищется локальный экстремум целевой функции. Из полученных локальных экстремумов выбирается глобальный экстремум.

Для случая (1.4) оптимизационная задача решается трижды: в диапазоне изменения переменных  в диапазоне а, и в диапазоне  В результате получаем три локальных экстремума. Из трех локальных экстремумов выбирается глобальный экстремум.

Наиболее простыми задачами нелинейного программирования являются задачи безусловной оптимизации. В этих задачах ищется абсолютный экстремум целевой функции без ограничений и граничных условий.

Из курса высшей математики известно, что в точке экстремума (минимума, максимума) нелинейной функции все ее частные производные равны нулю. Следовательно, для нахождения экстремума нелинейной функции п переменных необходимо определить ее частные производные по всем переменным и приравнять их к нулю. Решение полученной системы п уравнений с п неизвестными даст значения переменных, при которых достигается экстремум функции.

Следует отметить, что точное решение системы уравнений, в общем случае системы нелинейных уравнений, представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому для отыскания экстремума нелинейной функции часто используются другие методы, в частности градиентные методы.

Задачи безусловной минимизации на практике встречаются редко, однако методы их решения являются основой решения большинства практических задач условной оптимизации. В этих задачах ищется условный экстремум целевой функции, т.е. экстремум функции при наличии ограничений и граничных условий.

В большинстве практических оптимизационных задач искомые переменные принимают только положительные или нулевые значения. В этом случае граничные условия имеют вид

                                                                    (2.5)

Ниже будут рассматриваться задачи безусловной и условной оптимизации, в которых ищется один экстремум целевой функции при граничных условиях вида (4.5).

2.2 Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования

Графическую иллюстрацию нелинейной оптимизационной задачи рассмотрим для случая двух переменных х1 и х2. Пусть нелинейная целевая функция