Материал: ГИДРАВЛИаЧАСТЬ 1

Рис. 2.28. Обтекание профиля потоком жидкости

Потенциал скорости представляют в виде суммы двух потенциалов , где – потенциал скорости за пределами контура. Тогда из уравнений (2.96) следует

;

(2.109)

,

где − потенциал скорости возмущенного движения жидкости внутри контура.

При имеет место ; ; ; и .

Выделим на контрольной поверхности бесконечно малую площадку , где – ширина профиля цилиндрической контрольной поверхности в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка (см. рис. 2.28). На эту элементарную площадку действует элементарная сила , проекции которой на координатные оси

; .

Массовый расход жидкости через элементарную площадку

(2.110)

Подставив в равенство (2.110) значения и из уравнений (2.109) и отнеся расход к единице ширины профиля , запишем

. (2.111)

Во всех дальнейших выводах силы, действующие на профиль и контрольную поверхность, так же как и расход, будут отнесены к длине профиля.

Применим к контрольной поверхности теорему об изменении количества движения, согласно которой изменение количества движения в единицу времени массы жидкости, прошедшей через контрольную поверхность в единицу времени, равно главному вектору сил, действующих на эту массу, т. е.

,

где – вектор изменения количества движения; – вектор равнодействующей силы; – вектор силы, действующей на профиль; – вектор силы, действующей на контрольную поверхность со стороны потока жидкости.

В проекциях на координатные оси

; .

С учетом уравнений (2.109)

;

.

Наша задача заключается в определении силы . Найдем ее проекции на координатные оси:

(2.112)

.

Ранее мы уже доказали (см. подразд. 2.4.5), что сила сопротивления при обтекании цилиндра потоком идеальной жидкости . То же самое имеет место для любого профиля. Таким образом, нам предстоит определить силу .

Давление находим из уравнения Бернулли (2.76) при условии :

.

Пренебрегая значениями и , как величинами второго порядка малости, запишем

. (2.113)

Подставив значение из (2.111), – из (2.113) в уравнение (2.112), с учетом (2.109), получим

(2.114)

Преобразуя равенство (2.114) и помня, что , как величина второго порядка малости и , получаем

2.5. Динамика вязкой жидкости

2.5.1. Режимы течения

Различают два режима течения – ламинарный и турбулентный. Ламинарное (слоистое) течение отличается постоянством скорости и давления во времени в любой точке потока. Такое течение существует при сравнительно небольшой скорости движения жидкости. При достижении некоторого критического значения скорости происходит переход от ламинарного к турбулентному движению, которое характеризуется непрерывным изменением во времени скорости и давления в любой точке. Возникает пульсация этих параметров, в результате чего происходит интенсивное перемешивание жидкости по всему объему потока. В ходе исследований было установлено, что критическая скорость, соответствующая переходу от одного режима к другому, зависит от вязкости жидкости и диаметра трубопровода. Количественно переход от одного режима к другому определяется величиной критерия Рейнольдса . Толкование физического смысла критерия Рейнольдса будет дано в следующем подразделе, отметим лишь, что при движении жидкости в трубопроводах общего назначения в качестве критического значения критерия Рейнольдса, при котором происходит смена режимов течения, принимается величина . На практике наиболее часто принято считать, что при в трубопроводах имеет место ламинарный режим течения, а при – турбулентный режим. Конечно, столь резкой границы смены режимов течения в природе не существует. Переход от одного режима к другому происходит в некотором диапазоне изменения .

Течение вязкой жидкости в общем виде описывается уравнениями (2.42)–(2.44), несжимаемой жидкости – уравнением (2.46).

При решении задач гидродинамики турбулентных потоков вводятся понятия осредненных значений составляющей скорости и напряжения . Тогда их локальные значения

где и – пульсационные составляющие скорости и напряжения.

В проекциях на координатные оси (ограничимся осью 0x) получаем

Полагая, что уравнения движения в напряжениях могут быть пригодны для описания турбулентных течений, после введения в уравнение (2.38) осредненных параметров, получим в проекции на координатную ось из уравнения (2.39)

или

Согласно уравнению (2.18), интеграл есть циркуляция скорости Г по контуру , следовательно,

. (2.115)

Вектор скорости , повернутый на 90^о в сторону, противоположную направлению циркуляции, указывает направление действия подъемной силы . Если вектор скорости совпадает с направлением оси , циркуляция направлена по часовой стрелке (Г < 0), тогда положительна.

Вопросы для самоконтроля

1. Связь между какими силами устанавливает уравнение движения идеальной жидкости?

2. Напишите уравнение Бернулли для элементарной струйки для несжимаемой и сжимаемой идеальной жидкости.

3. Объясните геометрический и энергетический смысл слагаемых уравнения Бернулли.

4. В чем заключается различие в движении сжимаемого и несжимаемого газа в каналах разных форм при дозвуковом и сверхзвуковом течении?

5. Изобразите линии тока при безвихревом обтекании цилиндра потоком жидкости с циркуляцией и без циркуляции скорости.

6. В чем заключается парадокс Даламбера?

7. Сформулируйте теорему И.Е. Жуковского о подъемной силе.