В разделе 4.3 “Системная триада направлений обоснования математики как форма философско-методологического синтеза” рассматривается новая методология обоснования математики, открывающая в рамках триадической структуры дополнительные возможности анализа математики.
С позиций современного математического знания, можно попытаться концептуально зафиксировать возможность обоснования математики посредством философско-методологического синтеза основных направлений обоснования как адекватной теоретической модели, способной вернуть методологическую целостность в проблему обоснования современной математики. В работе английского математика Б. Дэвиса “Куда идет математика?” утверждается, что к концу прошлого века точнейшая из наук испытала потрясения, которые могут принципиально изменить характер полученных в ней результатов.
Логические прозрения Гёделя привели в 30-е годы прошлого века к первому из трех кризисов, о котором говорилось ранее, а начиная с 70-х годов, в современной математике произошли еще два кризиса, столь же непредсказуемые, как и кризис, вызванный гёделевскими результатами: “Оба они связаны с проблемой переусложненности: доказательства стали настолько длинными и сложными, что ни один ученый не взял бы на себя смелость однозначно подтвердить или оспорить их правильность”. В философской и математической литературе эта проблема пока еще детально не обсуждались.
Второй кризис относится к имплицитной достоверности доказательств, проводимых с использованием инструментальных средств современного компьютера. Третий кризис переусложненности в определенном смысле для математиков более серьезный, так как связан с излишней сложностью доказательств математических проблем, решение которых может занимать десятки тысяч страниц математического текста. С одной стороны, “кризисы переусложненности” носят эпистемологический характер и не связаны с онтологией математики, но, с другой стороны, если рассматривать математику как созидательный процесс, их можно эксплицировать как кризисы человеческой мысли.
В качестве теоретического конструкта для решения этой проблемы можно использовать эвристический потенциал философско-методологического синтеза обосновательных подходов, учитывая, что такой синтез является в максимальной степени “недедуктивным”. Он основан на идее интеграции, которая характеризует тенденцию к соединению в рамках целостной системы математических теорий. Такой эпистемологический поворот заметен не только по отношению к программе обоснования, но и в философии математики в целом. Поскольку в философии современной математики выделяются три направления в обосновании, то в качестве формулы системной триады можно рассмотреть следующую совокупность современных концепций обоснования математики: платонизм - формализм -- интуиционизм.
Так как, с точки зрения математической практики, ни направление формализма, ни направление интуиционизма не являются подлинно репрезентативными для обоснования математики, то наиболее употребительный методологический подход при экспликации структуры обоснования всего комплекса математического знания - это вложение исследуемых структур в более богатую структуру, с помощью “третьего”, который является формой опосредования крайних позиций. В новой парадигме происходит смена методологического идеала от полноты к целостности, которая означает, что существенное изменение любого направления обоснования оказывает воздействие и на другие составляющие программы, что ведет к изменению всей концепции.
Переход от диад к триадам позволяет заново взглянуть на суть взаимоотношений диалектики и математики, поскольку тринитарная методология не заменяет, а развивает диалектику, раскрывая ее новые возможности, тогда как от математики, при сохранении достаточной точности, требуется только лишь сохранять целостность исследуемых математических объектов. Признание прогресса при тринитарном подходе к обоснованию современной математики показало бы не только философскую проницательность, но и методологическую силу объединяющих коннотаций философских результатов.
Заключение
Основные научные результаты диссертации.
1. Обращение математиков к философии и методологии происходит в такие периоды, когда требуется новое осмысление разнородного и часто методологически противоречивого накопленного математического материала. Для философов математики ориентиром в такой обосновательной деятельности может служить стабильность, историческая устойчивость и мировоззренческая общность математики. Философско-методологическое обоснование математики необходимо для того, чтобы найти адекватные средства, гарантирующие надежность сверхсложных и труднообозримых современных математических доказательств и возможность использования в них компьютерных вычислений. Методологическая трудность имеющихся программ обоснования математики состоит в определении природы и границ “обосновательного ядра”, включающего не внушающие опасений утверждения и принципы доказательств.
Методы обоснования математики довольно плохо поддаются детальному объяснению на философском уровне, поскольку существуют концептуальные и методологические различия в подходах к их истолкованию и выделению основных смыслов. Несостоятельность логицистской программы обоснования математики, выявившаяся в процессе ее развития, следует из статуса логики как системы понятий, не связанной с идеей бесконечности, и зависимости математики от положений, надежность которых оправдывается за пределами логики. Программы формализма и интуиционизма тоже не дали убедительного рационального оправдания подходов к обоснованию, которые можно было бы взять за основу целостного образа математики. Поэтому на базе новой обосновательной методологии можно попытаться некоторым образом реабилитировать фундаментальное понятие актуально бесконечного, имеющее непосредственное онтологическое обоснование через оправдание некоторой части трансфинитной математики, и практическую целесообразность аксиомы выбора.
Неудачи классических программ обоснования математики явились следствием слабости их философско-методологических предпосылок. Конечной целью программ обоснования должен стать естественный синтез различных философско-мировоззренческих традиций устоявшихся в философии математики, с целью создания интегральной многомерной теоретико-методологической программы обоснования, так как синтез различных точек зрения, в том числе и ставших достоянием истории математики, обеспечивает развитие математических теорий. Системные соображения, отнесенные к математической теории, могут рассматриваться в качестве ее логического обоснования, для оправдания которых следует признать, что надежная дедукция возможна не только на уровне формализации [1, 5, 22, 26, 33, 35, 41, 49, 56, 65].
2. Редукционистские надежды на построение единого языка науки в целом не оправдались, хотя в обосновании математики в прошлом веке они были еще довольно сильными. Философия постгёделевской математики ориентирована на открытие новых способов коммуникации знаний, а не редукции одного типа знания к другому, и восстановлении или реконструкции ее прежних прочно установившихся традиционных подходов к обоснованию. Платонистская вера в то, что математические сущности предшествуют математическим исследованиям и озарениям, разделяется большинством математиков, так как математика не может существовать без идеальных объектов, необходимых для математического мышления. Поэтому математический платонизм можно рассматривать как определенный альянс между философами и математиками с целью поиска методологических оснований интегративных процессов современной философско-математической мысли. В таком контексте математическое творчество - это поиск объективно предзаданного результата.
Рациональная реконструкция исторической эволюции гносеологического механизма обоснования математики представляет собой экспликацию предпосылочного знания в аксиоматизации математических теорий, которое не может разрушить дедуктивную природу математического доказательства, хотя и осложняет его обоснование. Рациональные критерии обоснования играют важную методологическую роль в становлении математической строгости. Но отсутствие или неопределенность таких критериев не снижает уровня фактической значимости или строгости теории и не останавливает естественного прогресса математического знания. Так как в философии нет единой системы методов исследования, то и в философии математики отсутствует критерий общезначимости результатов, хотя “границы иррационального” современная математическая наука изучает философскими инструментами рационального.
Привычка обращаться с математическими объектами так, как будто это сущности реального мира, существующие независимо от математиков, является источником методологических затруднений в обосновании математических теорий. Они связаны с тем, что для этого реалистического течения пока еще нет адекватных онтологических интерпретаций, поэтому формальные описания в системном подходе конструируются так, чтобы математическая реальность хорошо соответствовала содержательным истинам. Исследуемый феномен рационального обоснования математики погружен в более широкий внешний контекст, образуемый феноменом веры и внелогическими способами постижения реальности. В этом, возможно, состоит одна из причин живучести математического платонизма, который непосредственно связан с природой математической деятельности, а именно с процессом отчуждения ее результатов от породившего их ума [2, 4, 8, 11, 15, 36, 38, 43, 44, 64].
3. В основе концепции структуры современной математической теории лежит фундаментальная дихотомия внешнего и внутреннего ограничения. Трудность выявления основных методологических принципов природы математического знания связана с тем, что процесс синтеза нового сущего в контексте онтологического понимания системы обоснования математики содержит нечто, что не выделяемо из целого при разделении его на части, поскольку речь идет не только о единстве этой совокупности, но и порождаемых ею свойствах. Линейный взгляд на обоснование уже не работает в современной математике, что, в частности, убедительно подтверждается гёделевской незавершенностью аксиоматических систем. Поэтому в качестве несущей обосновательной конструкции предлагается использовать синтез традиционных направлений обоснования математики, который способствует целостному пониманию математики, несводимому к простой сумме свойств составляющих ее элементов, в силу методологической несуммативности целого. Системный подход, который несравненно более абстрактен, чем логическое обоснование математики, призван эксплицировать соответствующие процедуры обоснования.
Методологические презумпции, на которые опирается анализ программ обоснования математики, ограничиваются рядом базовых принципов на основе системно-исторического подхода, метода сравнительного анализа и синергетического подхода. Поэтому неизбежным этапом познания, следующим за реконструкцией истории обоснования математики, выступает компаративистский подход к этой проблеме. С точки зрения компаративистики, философия математики, сравнивая и сопоставляя традиции формализма и интуиционизма в обосновании, стремится выявить скрытые идеи, входящие в различные комбинации известных философско-методологических программ обоснования математики. Философия трансформирует проблему соотношения современной математики и теоретических конструктов ее обоснования в вопросы, понятийное оформление которых, приводит к различным концепциям обоснования.
В контексте ведущей линии развития философской компаративистики, формирование единого пространства философии математики не должно зависеть только от ограниченного фрагмента арифметики. Хотя зависимость формалистской программы Гильберта от чисто философских предпосылок является гораздо меньшей, чем зависимость от них интуиционизма, современная обосновательная философия математики требует принципиально другого, более адекватного анализа, соответствующего реальному развитию направлений математики. Философское применение идеи дополнительности означает, что вопрос об обоснованности математики не должен ставиться в контексте методологических исключений, что представляет новый методологический уровень развития философии математики на основе философско-методологического синтеза [1, 6, 9, 10, 21, 24, 27, 37, 51, 61].
4. Поиски целостности программы обоснования невозможно отделить от феномена многообразия знания, поэтому философы математики вынуждены рассматривать разнообразные пути объединения действующих программ, расширяющих горизонты математики. Среди таких подходов можно выделить дихотомию - редукцию и дополнительность. Если редукция стремится свести все многообразие явлений к одной теоретической схеме, то дополнительность пытается сохранить многообразие при поиске объединяющих оснований, придав им новую философскую интерпретацию. Так, например, философскую экспликацию фрактальной геометрии, как направления постнеклассической математики, в контексте системного подхода к обоснованию, можно гносеологически осуществить на определенных методологических основаниях в составе математической триады “дискретность - фрактальность - непрерывность”.
Пока системный подход в обосновании современной математики не обрел строгой формы методологической системы, эта философская проблема не может рассматриваться в отрыве от общефилософских проблем теории познания. Методологическая идея системного обоснования математической теории состоит в том, чтобы теоретическую констатацию ее гносеологической завершенности связать со свойством ее непротиворечивости. Системный подход опирается непосредственно на качественные признаки обоснования непротиворечивости содержательных аксиоматических систем, которые неприемлемы для логического обоснования. Поэтому новая концепция обоснования современной математики является по сути гносеологической, так как содержит в качестве необходимого компонента как допущение о достоверности используемых в ней методов логического анализа, так и гносеологические предпосылки, определяющие исходный понятийный базис обосновательной процедуры.