Личный вклад соискателя.
Диссертация представляет собой самостоятельно выполненное комплексное научное исследование, в котором проанализированы и систематизированы различные философские теории и разработана новая методологическая концепция обоснования современной математики, суть которой последовательно раскрывается с помощью системной триады основных философско-методологи-ческих направлений обоснования современной математики. Результаты, которые вошли в диссертацию, нашли отражение в серии авторских публикаций, написанных без соавторов. В методических работах по высшей математике, логике и философии некоторые результаты авторского исследования переосмыслены в контексте их практического применения в сфере математического и инженерно-технического образования.
Апробация результатов диссертации.
Апробация результатов диссертации осуществлена на следующих международных и республиканских конференциях, школах и чтениях, проходивших с участием диссертанта после защиты кандидатской диссертации: Республиканские чтения “Философы ХХ века: Хосе Ортега-и-Гассет” (Минск, 2004), ХХ Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Жорес Алферов” (Минск, 2004), XIX Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVI” (Воронеж, 2005), Республиканские чтения “Философы ХХ века: Вячеслав Степин” (Минск, 2005), Международная научная конференция, посвященная 100-летию академика С.М. Никольского (Москва, 2005), Международная математическая конференция “Еругинские чтения - XI” (Минск, 2006), Всероссийская научная конференция “Проблемы свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе” (Курск, 2006), XXI Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Макс Планк” (Минск, 2006), ХХ Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVII” (Воронеж, 2006), Международная междисциплинарная научная конференция третьи Курдюмовские чтения “Идеи синергетики в естественных науках” (Тверь, 2007), Международная конференция “Леонард Эйлер и современная наука” (Санкт-Петербург, 2007), XXI Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVIII” (Воронеж, 2007), III Международная научная конференция, посвященная 85-летию чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2008), Х Белорусская математическая конференция (Минск, 2008), XII Международная научная конференция имени академика М. Кравчука (Киев, 2008), XXII Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Игорь Курчатов” (Минск, 2008), Международная научная конференция “Информационо-образовательные и воспитательные стратегии в современном обществе: национальный и глобальный контекст” (Минск, 2009), XXIII Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XX” (Воронеж, 2009), Международная научная конференция “Философия и рациональность в культуре глобализирующегося мира” (Минск, 2009), Между-народная научная конференция “Довгирдовские чтения - 1: эпистемология и философия науки” (Минск, 2010).
1. Аналитический обзор литературы по проблеме обоснования математики
Посвящена анализу современного состояния философско-методологической проблемы обоснования математики.
К началу ХХ века философия математики осознала себя как область, имеющая значение не только для решения чисто философских проблем. Проблема обоснования математики методологически строго впервые была сформулирована Д. Гильбертом как проблема обоснования непротиворечивости математических теорий. Новое понимание обоснования математики, представляющей собой совокупность абстрактных структур, являющихся математическим языком и основой дедукции, сводится к задаче обоснования надежности ее доказательных утверждений и установлению непротиворечивости ее теорий.
Но так ли существенна для математики проблема ее обоснования? В общеметодологическом плане такое обоснование необходимо для того, чтобы найти средства, гарантирующие надежность сверхсложных современных математических рассуждений и доказательств. Заметим, что в разные периоды истории развития математики надежными представлялись математические теории, соответствующие различным уровням теоретической строгости, формирующимся под влиянием критической познавательной установки. С точки зрения современной математики, надежность теоретического знания определяется также его гарантированностью от контрпримеров.
Принято считать, что проблема обоснования математики имеет как логическое, так и философское измерение, которое наиболее важно в контексте этого исследования. Первоначальное понимание проблемы обоснования было сориентировано в значительной мере на логический анализ математических теорий и являлось в определенной степени “антифилософичным”, а в тех вопросах, где нельзя было избежать философских импликаций, ее решение сводилось к определенного вида “догматическим допущениям”, таким, например, как “конструктивное доказательство, несомненно, достоверно”. Кроме того, при ответе на поставленный вопрос следует исходить из того, что философский статус теоретико-множественных принципов в действительности не является широко известным даже в профессиональном сообществе математиков.
Философский анализ проблемы опирается на общие характеристики научного познания, поэтому процедуры конкретизирующего обоснования в философии выполняются, вообще говоря, не с той последовательностью, методичностью и эксплицитностью, как это делается в точных науках. Для конкретизирующего обоснования своих познавательных теорий и схем философия математики обращается за помощью к самой математике. Как утверждает известный философ математики В.Я. Перминов, “общая методология программ обоснования математики, выдвинутая в начале ХХ века, с современной точки зрения должна быть признана совершенно неудовлетворительной”. Несмотря на некоторое продвижение в обосновании допущений, имеющих гносеологический характер, в целом проблема обоснования современной математики все еще далека от своего окончательного решения.
Прямым следствием сугубо математического подхода к проблеме обоснования математики при реализации трех классических программ - логицизма, формализма и интуиционизма - было то, что, в сущности, они представляли собой три различных способа редукции содержания математики к некоторому известному и безупречному основанию. Развитие указанных направлений обоснования современной математики вызывает необходимость их более тщательной экспликации. Редукция математики к логике не может быть реализована без явного или неявного включения в логику понятий и принципов, связанных с бесконечностью, что противоречит статусу логики как системы понятий не связанных с идеей бесконечности, а тем более с наиболее плодотворной в математике идеей актуальной бесконечности. Поэтому логицизм, как направление в философии, в настоящее время является малопродуктивным.
Использование понятия актуальной бесконечности есть то, что в философии математики принято называть “платонизмом”, хотя такой авторитет в области оснований математики как американский математик П. Коэн предпочитает называть его “реализмом”. Корни платонизма следует искать в XIX веке, когда математики начали пользоваться актуальной бесконечностью совершенно свободно, и актуально бесконечные множества объектов стали составлять основное содержание традиционной математики. Отношение к бесконечным множествам стало критерием размежевания математиков. Кроме того, классические программы обоснования математики, даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как, например, в программе интуиционизма, все же не свободны от неявных элементов, неизбежно порождающих неявно-интуитивный аспект в формализации аксиоматической математической теории, не влияющий на ее дедуктивный статус.
Привлекательной чертой актуальной бесконечности для современной математики является ее логическая простота, даже оперировать с ней проще, чем с потенциальной бесконечностью. Но, с философской точки зрения на обоснование математики, элементарные арифметические и геометрические доказательства являются неопровержимыми в фактуальном смысле в немалой степени потому, что они не используют понятия актуальной бесконечности, без которого немыслима современная математика. Можно даже утверждать, что именно понятие бесконечного разделяет математику и логику, поскольку интуитивное и формальное представление о бесконечности, необходимое в математике, отсутствует в логике. Определенные стагнационные процессы последних десятилетий, происходящие в философии математики, вызваны не только вполне прогнозируемой сложностью отдельных математических теорий, но и смысловым многообразием противостоящих друг другу концепций обоснования.
Несостоятельность предыдущих философских установок на обоснование математики означает, что эта проблема нуждается сегодня в постановке на принципиально иной основе, а именно, философском принципе системности, суть которого, в преломлении к проблеме обоснования, раскрывается через понятия целостности и взаимодействия элементов системы, предполагающие определенный уровень самоорганизации ее подпрограмм. Тогда имеющиеся программы обоснования математики, можно рассматривать в качестве предпосылочного знания, которое уже исследовалось в философии математики.
2. Историческая эволюция философских представлений о единстве современной математики
Посвящена анализу философско-математических традиций в обосновании математики в контексте методологического единства современного математического знания.
В исследовании вопросов философии математики, включающих также обосновательные процедуры теории бесконечных множеств, небесперспективным представляется путь анализа внутренней эволюции математического знания, которая вопреки бытующему мнению еще более упрочила единство ее частей. Существенным в этой эволюции, согласно Н. Бурбаки, является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями. Соответственно обоснование фундаментальных математических теорий в процессе их развития проходило по двум каналам: во-первых, как их согласование с внутриматематическими основаниями, а во-вторых, как их философское согласование с внешними основаниями. Обоснование фундаментальной теории в рамках принятых математических абстракций по существу сводится к ответам на вопросы: Каковы свойства объектов теории? Как эти объекты соотносятся с другими? В чем суть принципов построения теории? Ответы на эти философские вопросы раньше рассматривались как эволюция поисков “окончательного” обоснования математики в рамках известных философских концепций логицизма, формализма и интуиционизма.
Внешние идеи, в стремлении к методологическому единству математики, вносятся в обоснование математики, как через науки меньшей степени общности, так и через науки большей общности, как, например, философия науки. В контексте исторической эволюции математики они проблематизируют выбранный подход к обоснованию и способствуют пониманию ограниченности и недостаточности единственной точки зрения. Один из главных подходов к внешнему обоснованию математики реализуется в известной философской концепции платонизма. При таком подходе выявляется влияние философии на математику с помощью методологического реализма как установки профессиональных математиков на допустимость абстрактных математических объектов, связанных с понятием актуальной бесконечности.
Чтобы сделать этот философско-методологический замысел более убедительным, рассмотрим некоторые основные линии исторического и философского вызревания математических теорий.
В разделе 2.1 “Контроверза «рациональное - внерациональное» с точки зрения математического реализма” характеризуются современные рационалистические подходы в научном познании, которые позволяют выявить методологическую функцию принципа целостности в развитии математики.
Хорошей иллюстрацией трудностей, которые возникают при желании дать некую классификацию концепций и направлений современной философии математики, является неоднозначность понимания такого термина, как реализм. По мнению реалиста, числа существуют, по мнению антиреалиста нет. Реализм имеет много смыслов, поэтому целесообразно ограничиться реализмом в онтологии, согласно которому математические объекты существуют независимо от математиков. Но насколько реальны объекты математического мира? Ни одна из существующих философий математики не решает этого вопроса.
Но даже рационалистические концепции философии математики признают существование неявного знания. С рационалистической точки зрения, понятия, необходимые для формирования абстрактных объектов, отражают способности нашего мышления или выводятся из математических понятий с помощью логических принципов, определяющихся способностями разума. В философской литературе давно выявлено, что редукция математики к логике не может быть реализована без явного или неявного включения в логику математических понятий и принципов, связанных с бесконечностью. Логицистская редукция может быть осуществлена только при условии истинности важнейших аксиом теории множеств, а именно, аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. Но это не ведет к отказу от других подходов к обоснованию.
Неудача развития логицизма явно зафиксировала то, что определенные неясности языка и математической терминологии нельзя преодолеть обращением к логике, то есть причины трудностей обоснования математики оказались более глубокими, чем это представлялось логицистам. Кроме того, с одной стороны, логика в отличие от математики, является беспредпосылочным знанием, так как она обусловлена способом языкового мышления, независящего в своих формах от математики. Но, с другой стороны, гносеологические предпосылки программ формализма и интуиционизма, определяющие исходный понятийный базис и допустимые критерии достоверности, являются наименее рационализированным компонентом. Поэтому понимание интуитивной основы математического мышления позволяет по новому посмотреть на старый философский спор о реальности математических абстракций.