Это связано с тем, что математики мыслят все же посредством интуитивных образов, а не посредством исключительно теоретических понятий. Следует еще раз подчеркнуть, что релевантная философско-математическая дискуссия показала: результаты Гёделя относятся не только к формальной арифметике, они распространяются на любую формальную математическую систему, содержащую арифметику натуральных чисел, то есть на любое исчисление, начинающееся с арифметики. С философской точки зрения, теорема Гёделя о неполноте “снимает запреты” с незыблемых постулатов, что позволяет математикам не только углубляться в уже существующие теории, но и возвращаться к их основам. Необходимо учитывать и такую особенность, что независимо от философских мнений об универсальности применяемых подходов к обоснованию математики, всегда найдутся утверждения, которые не попадают в сферу их действия. Принципиально важно также то, что результаты Гёделя не могут опровергнуть ни одной из уже добытых математических истин.
Дополнительная трудность состоит также в том, что в концепции Гёделя используется фундаментальная двойственность теории чисел в логике: когда она аксиоматизирована, она становится “объектом” изучения, а, с другой стороны, используемая неформально, она является “орудием”, при помощи которого могут изучаться формальные системы. Поэтому в “окрестностях” теоремы Гёделя нет простых и однозначных философских истолкований.
В разделе 3.3 “Современные средства математического познания и возможности компьютерного моделирования” рассматривается сопряженность общих методологических установок, реализуемых в программах формализма и конструктивизма, с методологией компьютерной математики.
Даже самые проницательные философы математики первой половины ХХ века не могли предвидеть появления такого мощного нового направления современной математики, как компьютерная математика, синтезирующая в себе как формалистские, так и конструктивистские проблемы обоснования математики. Благодаря новым теориям, например, теории алгоритмов, методов оптимизации и теории игр, в сферу математики вошли исследования, способствующие развитию математического познания. Так как в современной математике фиксируются такие конститутивно важные для всякой научной рациональности характеристики, как целостность, системность и структурность, то это создает возможность трансляции уже аккумулированного знания.
Несмотря на возрастающую роль компьютерных систем в математическом познании, информационная модель современного математического знания, частично реализованная с помощью компьютера или вербализованная в математическом тексте, является, в значительной мере, лишь “эксплицированным намеком” на теоретическое знание, в отличие от хорошо формализованных математических теорий, позволяющих реконструировать архитектуру моделируемого знания. С помощью компьютера можно найти варианты решения математических задач в том случае, если он используется не только как вычислительное устройство для концептульного обогащения мышления, но и как инструментальное средство, позволяющее изменить стереотипы в усвоении математических знаний, и в самой умственной деятельности.
Кроме того, в результате стремительного развития математического моделирования и компьютерного эксперимента открываются новые возможности философско-методологического синтеза программ обоснования математики, который мы называем системным, хотя в философии и методологии науки он не имеет жестко фиксированного семантического смысла. Так, например, существование фрактального множества Мандельброта есть его свойство абсолютной природы, не зависящей от математика или компьютера, которые его исследуют, поэтому независимость от математика этого множества обеспечивает ему чисто платонистское существование. С помощью фрактальных объектов природа на языке математики демонстрирует не просто значительно более высокую степень сложности, соответствующую современному уровню развития науки, а совсем другой уровень математической сложности.
Считая фрактальность фундаментальным математическим понятием, оппозицию “дискретность - непрерывность”, которая характеризуется с помощью противоположностей главных линий математического познания, арифметико-алгебраической и геометрико-топологической, можно философски переосмыслить в виде следующей математической триады, включающей функционально-аналитическое направление математического познания: фрактальность - дискретность -- непрерывность.
И дискретное, и непрерывное в составе триады - это математические модели, не исключающие, а дополняющие друг друга, так как обе они являются идеализациями, относящимися к гносеологии, постоянно пересекаясь и переплетаясь, порождая новые математические объекты. Визуализация такого сложного объекта, как фрактальное множество, стала возможной лишь благодаря современному компьютеру. Современные информационные технологии существенно изменили отношения между теоретической и практической математикой, в частности, они позволили эксплицировать несоответствие между огромным количеством информации, которое содержится в компьютерном изображении и тем объемом, который фиксируется в сознании человека.
4. Методологическая целостность программы обоснования постгёделевской математики
Посвящена конкретизации основных теоретических положений обоснования математики, рассмотренных в предыдущих главах, применительно к современным структурам математики.
Реализация философско-методологического синтеза различных направлений для обоснования математики является попыткой вывести философское суждение о непротиворечивости математических теорий из генезиса и методологической организации теорий в процессе их становления. Как отмечает логик Н.Н. Непейвода, “кодировки, при которых можно доказать непротиворечивость, неестественны, и даже неформально включают в себя предположение о непротиворечивости”. Феномен математических теорий состоит в их неисчерпаемости, что не исключает возможности фиксировать их “гносеологические срезы”, предназначенные для конкретных целей их обоснования.
Экспликация такого подхода невозможна без релевантного взаимодействия математики и философии в контексте формирования методологически целостной концепции обоснования современной математики, которую можно также рассматривать как гипотетическую потребность в синтезе представлений о категориях, развиваемых почти что изолировано в философии науки и математике. Представление о философско-математической гипотезе, возникающее при диалектическом рассмотрении проблемы, восходит к Платону, который в последний период своего творчества развивал “математическую диалектику”, то есть диалектически обсуждал математические “начала-гипотезы”.
Методологическая трудность обоснования современной математики, в основе которой лежит важнейшая проблема непротиворечивости аксиоматических теорий, не позволяет выделить какую-либо одну из известных философско-математических программ, основные идеи и принципы которых обеспечивают эвристику поиска на основе системного подхода к обоснованию.
В разделе 4.1 “Практическая эффективность математики и интуиционистский стиль математического мышления” на основании продуктивности математики в ее приложениях делается философский вывод о важности интуитивной составляющей современного математического знания.
Математики сознательно ограничивали себя специальным миром релевантных математических моделей, абстрагированных от отражающих аспектов действительности. В этом одна из основных причин платонистского отношения математиков к объектам своих исследований. Возможно, что именно в этом неиссякаемый источник творческой силы математики, названный американским физиком-теоретиком Е. Вигнером “невероятной или непостижимой эффектностью математики”, которая делает перспективы ее применения в самых разных науках, по существу, неограниченными.
Философы науки солидарны в том, что практическая эффективность математики в физике не может быть объяснена без прояснения на генетическом уровне глубинной корреляции математических и физических структур. Однако упорядочение математических теорий на основе понятия структуры, которое было предпринято во второй половине ХХ века группой Бурбаки, не решило философской проблемы взаимоотношения мира физической реальности и математического знания, поскольку в их концепции факт соответствия математических структур явлениям окружающего мира попросту констатировался, поэтому не подлежит дальнейшей философской конкретизации.
В генезисе математических структур важно понять активную роль субъекта. Даже чувственный образ множества возник в математике благодаря нашей способности мыслить совокупность как единое целое. Математические структуры обладают к тому же той уникальной и отличительной способностью, что, будучи однажды сформулированными, они могут логически развиваться без дальнейшего обращения к действительному миру. Хотя математика в таком контексте весьма эффективна, ее выводы нуждаются в перепроверке, поскольку для разных целей требуются разные приближения. Поэтому с точки зрения такого философского направления как интуиционизм, математическое доказательство должно вместе с обоснованием давать требуемое построение.
Методы, дающие такое построение, Л. Брауэр и его последователи называли эффективными. Интуиционисты воспринимали математику как естественную функцию интеллекта, а математические конструкции для них изначально имели определенное интуитивное содержание. В соответствии с таким эскизным подходом к обоснованию Брауэр дал ему название “интуиционизм”, хотя подчеркивая процессуальную роль конструкции в этом направлении обоснования, использовал также название “конструктивизм”, но предпочтительнее употреблять первое название, так как оно отводит ведущую философскую роль понятиям истины и обоснования, а не понятиям задачи и конструкции.
Адекватное обоснование эффективности математики может быть системным. Оно исходит из понимания математики как некоторого рода самоорганизующейся системы, исторически приспосабливающейся к содержательному знанию, как к системе более фундаментальной, учитывая при этом существенную роль “неявных эвристик”, в которых изначально практически невозможно предвидеть новые эффективные методы математического познания.
В разделе 4.2 “Философская проблема непротиворечивости формализованной теории и метаматематика Гильберта” показывается, как методология программы формализма согласуется с математическим опытом.
В начале ХХ века метаматематика Д. Гильберта оформилась в самостоятельный раздел современной математики. Метаматематика - это философско-математическая наука, рассматривающая формализованные системы математики, которые применяются к самим математическим теориям. Предмет математики составляют формальные системы, которые изобретают математики, а предмет метаматематики описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств. С точки зрения объяснения релевантности выбранной формализации, последнее методологически важно для исследуемой задачи.
Программа обоснования Гильберта предназначалась для “реабилитации” математики в связи с критикой программы интуиционистов обоснования классической математики. Она состояла из двух дополняющих друг друга задач. Решение одной из них предполагало довести до конца процесс аксиоматизации математики, точнее представить существующую математику в виде формальной теории на основе “очищенной” от парадоксов теории множеств. Таким образом, впервые была поставлена задача формализации теории доказательств с помощью уточнения понятия математического языка и логического вывода. Другая задача представляла собой радикально новую в то время философскую задачу доказать непротиворечивость полученной теории.
Д. Гильберт предложил обосновывать математику на базе эпистемологически прочного фундамента финитизма, то есть сознательно ограничивал круг средств, которые считал допустимыми и надежными, но не зафиксировал точно совокупность финитных рассуждений. Работы Г. Генцена показали, что, расширяя финитизм методами, основанными на трансфинитной индукции, можно показать непротиворечивость арифметики и математического анализа, обоснование которых на базе финитизма оказалось не выполнимым. Но вопрос о непротиворечивости самой трансфинитной индукции остается пока открытым. Поэтому в дальнейшем имеет смысл говорить о локальной непротиворечивости, так как глобальная непротиворечивость может оказаться избыточной.
Строго говоря, процедура обоснования математики, согласованная с гильбертовскими идеализациями, предполагает формализацию математической теории с помощью содержательной “метатеории”, которая, наряду с описанием структуры формализма, рассматривает принципы допустимой логики и соответствующие ей правила доказательства и преобразования математических утверждений, допустимые в рамках данной теории. Методологический замысел Гильберта состоял в том, чтобы так ограничить метатеоретические рассуждения математиков, чтобы, наконец, обращаясь к гносеологическим критериям, гарантировать их максимально возможную достоверность.
Что же касается проблемы установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств, то она до сих пор не решена. Однако экспликация исторической эволюции проблемы обоснования математики показывает, что формализация позволяет приблизиться к идеалу надежности и обоснованности в математике. Хотя ограничение сферы надежной метатеории арифметизируемостью и финитностью требует пересмотра программы обоснования математики через выявление онтологических оснований математического мышления в различных областях современной математики.