На основе одних лишь только философских обобщений невозможно дать обстоятельный ответ на вопрос: Что такое математика? Математик и философ Н.В. Бугаев на исходе XIX века дал следующее определение математики: “Математика есть наука, изучающая сходства и различия в области явлений количественного изменения. Это самое общее ее определение. Все остальные ее определения вытекают из него, как его простые следствия. Идеи количественного изменения и порядка, которому подчиняются эти изменения, суть основные идеи математики”. Для понимания смысла и сути генезиса методологических идей современной математики необходимо философское осмысление составляющих ее элементов, поскольку, несмотря на ее теоретическую и практическую значимость, математика не обладает монополией на абстракцию.
С учетом реального сосуществования в современной математике конкурирующих исследовательских программ, таких как формализм и интуиционизм, следует не опровергать их, а сосредоточиться на том, как можно их трансформировать, чтобы включить в новую концепцию обоснования.
В разделе 2.2 “Роль платонизма в формировании единства философско-методологических направлений обоснования математики” выявляется и обосновывается необходимость платонистского подхода в формировании новой концепции программы обоснования современной математики.
Для современного математика неизбежно бессознательное платонистское отношение к математическим объектам своего исследования. Сегодня принято называть платонизмом любую философскую позицию, которая систему идеальных объектов человеческой мысли трактует как особый, независимо существующий мир. Математический платонизм - это учение, согласно которому математические конструкции и математические истины существуют в их собственном, вполне реальном мире, не имеющем конкретного физического местонахождения. В духе концепции математического платонизма истинной считалась теория, которая соответствовала чему-то определенному, существующему вне нас. Однако со временем акценты определения истинности изменились, поскольку сам собой возник вопрос: А что значит “соответствует”?
Есть и другой взгляд на эту проблему, согласно которому платонизмом индуцируется взгляд на математику как на естественную науку, поэтому и математическое творчество, с этой точки зрения, это поиск объективно предзаданного результата. Он характеризуется наличием элементов невычислимости, которые нельзя игнорировать в философской проблеме обоснования современной математики. Новая концепция обоснования математики включает в объект своего исследования также творческий, действующий субъект, поэтому выделение в качестве философских импликаций любых контактов с платоновскими идеями, которые доступны человеческому разуму, представляются в таком познавательном контексте чрезвычайно важными.
Научное мировоззрение, которого придерживаются современные математики, можно охарактеризовать как “умеренный скептический платонизм”, который, вообще говоря, расходится с “математическим платонизмом”, предполагающим, что математика сможет ввести нас в мир абсолютных идей, поскольку именно там реально существуют математические понятия. Необходимо все же уточнить, что Платон не рассматривал математические объекты как полностью самотождественные и автономные, поскольку они зависят от гипотез, предполагающих относительно самостоятельную деятельность рассудка, на которых основывает свои выводы математика. В чем тогда выражается польза от платонистского мира идей для математиков, придерживающихся различных философско-методологических подходов к обоснованию математики?
Вера в абсолютную ценность всей современной математики связана с верой в существование абстрактных математических объектов и структур. Математический платонизм полезен и эффективен, прежде всего, в вопросах онтологизации объектов математической мысли. Он также связан с понятием математической истины, которое выходит за пределы теории формализма. Поэтому можно попытаться соединить в современной философии математики направления формализма, интуиционизма и платонизма, чтобы показать плодотворность такого синтеза в контексте проблемы обоснования математики.
В разделе 2.3 “Системный подход к проблеме обоснования и инструментальная ценность современной математики” выявляется необходимость смены методологических установок и критериев при отстаивании релевантности работающих программ обоснования современной математики.
Системный подход можно рассматривать как путь к обоснованию современной математики на основе идеи эволюции и развития математических теорий. Углубление анализа обоснования математической теории приводит к необходимости ее экспликации и концептуализации, не обязательно при этом ставя под сомнение логику развития и практические результаты теории. Поскольку процесс совершенствования математических теорий через устранение логических противоречий является трудно реализуемым, то можно попробовать приблизиться к решению проблемы обоснования математики через общезначимые характеристики зрелости и надежности математической теории.
Идея системности возникает при переходе науки к изучению новых классов объектов, среди которых, прежде всего, следует выделить сложные динамические системы. Исследование их формальных свойств и природы составляющих компонентов позволило установить иерархическое строение и наличие взаимодействующих элементов. Несмотря на описательный характер системы, можно эксплицировать главное отличие ее объектов, состоящее в свойстве особой целостности, то есть определяемости свойств объекта в составе системы как целого. Базовый инструментарий, который задействуется при таком подходе, сводится к традиционным философским понятиям: единство, сложность, взаимодействие, целостность и саморазвитие. Благодаря философской идее системности, представляющей новую парадигму науки, происходит смена методологических ориентаций и в обосновании современной математики.
Наиболее полно философское единство было описано Г.В.Ф. Гегелем, но не в его переходной триаде “тезис - антитезис - синтез”, а в его системной триаде философии. Напомним, что триадой называется совокупность из трех элементов, которые определенным образом связаны между собой. Системная триада Гегеля способствовала выработке идеологии тринитарного формализма. В философских традициях его времени эту триаду можно описать так: философия духа - наука логики -- философия природы
Для понимания составляющих элементов гегелевской системной триады подчеркнем, что он также выявил, как из философского противоречия чувственно-достоверного и абстрактно-всеобщего возникает новое образование развивающейся философии духа - рассудок. По существу, Гегель сделал важный шаг в развитие идеи категориального синтеза, порождающего конкретно-научные понятия. Однако в отсутствие инструментов конструирования абстрактных математических объектов, их математическое существование должно инструментально подтверждаться, пусть и не конструктивно, если это невозможно, но тогда обязательно аксиоматически доказательно.
Необходимость системного исследования, в силу размытости концептуального поля обосновательных процедур математики, возникает как реальный процесс движения познания к постижению единства математического знания. Полиморфизм современного научного знания обусловлен не только многообразием действительности, но и различным гносеологическим статусом ее математического инструментария, ценность которого по-разному проявляется в конкретных познавательных ситуациях.
3. Философская компаративистика и принцип дополнительности в математическом познании
философский формализм рефлексия математика
Посвящена определению основных методологических аспектов теоретических положений новой концепции обоснования современной математики.
Гносеологический механизм исторического обоснования математики, обеспечивающий прирост нового математического знания, представляет собой экспликацию предпосылочного научного знания в новом подходе к проблеме обоснования, способствующему повышению общего уровня теоретической строгости математических теорий. Анализ взглядов на современные математические теории показывает наличие самых различных, по существу диалектически дополняющих друг друга подходов к обоснованию. Они подтверждают неисчерпаемость феномена математического знания, предназначенного для достижения тех или иных целей, но при этом неизменно сохраняющем дедуктивную природу любого математического рассуждения.
Компаративистская методология, используя подходы, дополняющие друг друга, способствует целостному взгляду на математику. Но для экспликации философской идеи целостности, следует проанализировать принцип дополнительности Бора, с точки зрения философско-методологического синтеза программ обоснования математики. Философ науки В.Н. Порус выделяет в этом принципе требование, согласно которому для воспроизведения целостности исследуемого объекта применяются “дополнительные” классы понятий, которые, будучи взяты раздельно, могут взаимно исключать друг друга.
В разделе 3.1 “Философский анализ идеи дополнительности в контексте обоснования современной математики” анализируются философские проблемы обоснования математики, с помощью формалистского и интуиционистского подходов, включенных в стадию сравнительных исследований.
Преимущественное внимание уделяется анализу формализма и интуиционизма, в силу того, что с помощью этих программ обоснования были преодолены парадоксы теоретико-множественной концепции математики. Не ставя перед собой неразрешимую задачу экспликации всего теоретического ядра философско-методологических программ формализма и интуиционизма, необходимо все же зафиксировать наличие связанных с ним проблем в обосновании современной математики. Целью формалистской программы обоснования математики, предложенной Гильбертом, являлась не редукция математики к логике или арифметике, а редукция к метатеории, которая рассматривает принципы допустимой логики и допустимые методы доказательства.
Целью интуиционистской программы обоснования, согласно Брауэру, являлась конструктивная редукция математики к исходным представлениям интуитивно ясной арифметики, но за рамками брауэровского интуиционизма осталась большая часть классической математики. Понятия, используемые в одной концепции обоснования математики, должны быть включены в контекст совершенно другого направления обоснования. Эти трудности заставляют философов математики вспомнить о методологическом опыте, накопленном физиками, использовавшими принцип дополнительности. Философская интерпретация дополнительности предполагает, что математические структуры представляют собой сложную иерархию двухполюсных систем: “дискретное - связное”, “случайное - необходимое”, “конечное - бесконечное” и др.
Сложность понятия конечности состоит в том, что оно оказывается невыразимым на языке классической логики. А философская сущность понятия бесконечности, по мнению академика А.Д. Александрова, проявляется в следующем: “Бесконечность, не мыслимая как завершенная, мыслится как завершенная. Это и есть диалектика, есть переход в противоположность, изменение понятия вплоть до отождествления противоположностей, осознание полного отрицания как в некотором смысле "того же самого", как отрицательное число есть тоже число”. Пониманию этой проблемы может способствовать применение концепции дополнительности к логической структуре математических рассуждений. Исходя из такого положения вещей всесторонний анализ, например, обоснования математики, может потребовать различных точек зрения по поводу таких фундаментальных понятий математики, как число, множество и так далее, которые не поддаются однозначному описанию.
Ошибка классических программ обоснования математики состояла в том, что они стремились абсолютизировать какую-то одну систему достоверных положений обоснования, не учитывая их дополнительный характер взаимодействия. Поэтому основу единства современной математики следует искать не в построении единого языка науки, а в нахождении методологического сходства теоретико-познавательных ситуаций, требующих для своего анализа дополнительной системы понятий, которая способствовала бы устранению субъективных элементов и расширению объективного описания.
В разделе 3.2 “Результаты Гёделя и актуальные направления обоснования в постгёделевской философии математики” фиксируется реальное изменение методологических целей обоснования современной математики в контексте философских императивов теорем Гёделя о неполноте.
Современный этап развития философии математики можно также назвать “постгёделевским”. В самом названии постгёделевской философии математики еще звучит ориентация на предыдущую эпоху развития математического знания, но по существу уже можно говорить о начале принципиально новых взглядов и подходов в проблеме обоснования математики. Уточняя понятие постгёделевской философии математики, заметим, что математики смотрят на прошлое не как на предпосылку, а как на необходимую составную часть величественного здания современной математики. Суть этой философии сводится к тому, что современная математика не может быть с достоверностью обоснована исключительно внутренними, то есть логическими, средствами.
Согласно философско-методологическому принципу дополнительности для репрезентации закономерностей развития направлений обоснования современной математики необходимо эксплицировать взаимоисключающие дополнительные понятия и подходы, сущностные характеристики которых развивают собственную логически непротиворечивую линию суждений. В определенной степени, элементами математического идеала как образца научности можно считать доказательность математических утверждений и способы построения ее теорий. Вопрос о формализации, математической строгости и гильбертовском идеале чистоты методов оказался намного тоньше, чем это было принято считать до философско-логических результатов Гёделя.
Имплицитная достоверность важнейшего методологического следствия из теоремы Гёделя о неполноте связана с тем, что в любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе, каковой и является арифметика, теоретически возможны высказывания, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Это методологически важное высказывание, в контексте нового подхода к обоснованию, можно интерпретировать как предположение о том, что в формалистском направлении обоснования математики всегда найдутся интуитивно очевидные, с точки зрения интуиционистского направления обоснования математики, но не выводимые из аксиом предпосылки. Такого рода предпосылочное знание не может быть обосновано в рамках математических теорий, поскольку оно обладает двойственностью, в том смысле, что кроме математического обоснования содержит еще неотделимую в интуитивном мышлении метафизическую, или платонистскую, основу.