Если смягчить доктринерские элементы программы Гильберта, то в теории доказательств потребуются не только результаты о непротиворечивости, но и новые подходы к расширению методологических принципов программ обоснования, способных объяснить естественность различий современных метаматематических исследований. Логическая невозможность обоснования непротиворечивости отдельных математических теорий, в силу гёделевских результатов о неполноте, не означает, что они противоречивы или проявят противоречивость в своем дальнейшем развитии. С прагматической точки зрения, современная математика вполне достаточно, хотя и не абсолютно, по мнению профессиональных математиков, обосновывается своими приложениями, поскольку научное знание тоже имеет свои пределы философско-математического познания. Недооценка механизмов самообоснования математики состоит в неадекватном понимании математических теорий, способных к дальнейшему развитию на пути приобретения корректности понятий и надежности своих практических методов [2, 7, 12, 14, 17, 19, 45, 46, 52, 54].
5. Интеллектуальная история проблемы обоснования математики не начиналась с нуля. История развития современной математики показала, что в методологическом споре интуиционизма и формализма не оказалось победителя, точнее конструктивная и теоретико-множественная математика хорошо дополняют друг друга. Эта бинарная оппозиция есть элементарная структура обоснования, а для синтеза требуется более емкая структура, простейшей из которых является системная триада. Между этими структурами существует преемственность, так как новый подход к решению проблемы обоснования математики не приводит к полному отказу от философских представлений и методологических установок предшествующего этапа, сохраняя критерии и нормы эффективности математического знания. Новая философская концепция проблемы обоснования современной математики характеризуется особым, свойственным лишь ей методологическим основанием, позволяющим исследовать структуру различных математических теорий как саморазвивающихся систем.
Одно из проявлений философской рефлексии состоит в принятии новой организующей идеи или новой интерпретации уже существующих направлений, позволяющих построить более обстоятельную схему для решения проблемы обоснования математики. Разработка философско-методологического синтеза на основе системной триады “формализм - платонизм - интуиционизм”, как нового научного направления в философии математики, выражает реальный процесс движения математического познания от исследования обоснования через части к постижению единства многообразия: его целостности и его множественности. Такой процесс протекает и внутри самой современной математики с учетом определенных отклонений, поскольку некоторые ожидания были частично опровергнуты общей математической практикой.
Исходным пунктом новой концепции обоснования математики стало объединение коннотаций философских основ математических идеализаций и методов логического оперирования с ними, исходя из факта особой достоверности современной математики и неправомерности отождествления ее с опытными науками. Методологическое новшество проведенного исследования состоит в конкретизации философского принципа системности для формальных систем обоснования современной математики. Концептуальное развитие проблемы обоснования современной математики на основе проведенного исследования связано с таким пониманием доминирующего статуса математических моделей реальности, который снимает в рамках математических критериев неоправданные ограничения на программу обоснования. Опираясь на гносеологические критерии, можно также утверждать, что ведущая сила нового тринитарного мышления, преодолевающего традиционный философский монизм и бинаризм, - это реальный результат осмысления совокупного современного математического опыта [1, 16, 18, 20, 23, 25, 34, 39, 42, 48].
Рекомендации по практическому использованию результатов.
Практическая значимость полученных результатов для философии науки состоит в конкретизации категорий системы и синтеза в контексте решения философско-методологической проблемы обоснования современной математики. Если различать математику как науку, и как преподаваемый предмет, то следует отметить, что практика преподавания школьной математики переживает в настоящее время системный кризис, поскольку актуальность и фундаментальность большинства сведений формалистского направления, сообщаемых в школе, находится под вопросом. Поэтому содержание математического образования должно быть изменяемо. В таком контексте важное практическое и теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие эвристический потенциал системного подхода в развитии математики в рамках формалистского и интуиционистского типов мышления, как на стадии формирования нового математического знания, так и на стадии формализации, обоснования и экспликации этого знания.
Результаты проведенного философского исследования используются в научно-исследовательских проектах, реализуемых в Курском государственном университете: “Конструктивность математического знания: от античности до современности” (2008-2010), проект РФФИ № 08-06-00472-а; “Онтологические и гносеологические основы математического знания в направлениях философии математики конца XIX - начала XX столетия” (2008-2010), проект РГНФ № 08-03-00049-а. Материалы диссертационного исследования, раскрывающие принцип системности в обосновании современной математики, могут быть использованы в преподавании математики и написании учебных пособий по основам высшей математики для философских и социально-гуманитарных специальностей, а также в учебном курсе “История и методология математики” для студентов механико-математического факультета БГУ. Философские выводы, полученные в диссертации, в качестве инструмента философско-научного исследования, могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии современной математики. Они используются в преподавательской практике при чтении лекций по базовым курсам “Философия” и “Логика” для учащихся и студентов МГВРК (имеются 2 акта о внедрении).
Основные теоретико-методологические положения этого исследования, связанные с математической проблематикой в истории и философии науки, целесообразно учитывать при подготовке концепций математического образования в Республике Беларусь. Кроме того, их можно использовать в работе методологических семинаров по философии и методологии науки с целью повышения философско-математической грамотности студентов, магистрантов и аспирантов, что отражено в различных научно-методических публикациях на эту актуальную тему [3, 13, 29, 32, 40, 47, 60, 63, 69, 70].
Литература
1. Михайлова, Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики: монография / Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2008. - 332 с.
2. Михайлова, Н.В. Философско-методологические основания постгёделевской математики: монография / Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2009. - 198 с.
3. Михайлова, Н.В. Парадокс Менона в математическом образовании / Н.В. Михайлова // Педагогика. - М., 2001. - № 3. - С. 28-32.
4. Михайлова, Н.В. Рациональное и иррациональное мышление: проблемы философского осмысления / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2002. - № 4. - С. 118-127.
5. Михайлова, Н.В. Эпистемологические проблемы современного математического знания / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2003. - № 1. - С. 124-129.
6. Михайлова, Н.В. Проблема двойственности науки: вычисление или рассуждение? / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2004. - № 2. - С. 80-88.
7. Михайлова, Н.В. Методология математики до и после программы Гильберта / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2005. - № 2-3. - С. 110-114.
8. Михайлова, Н.В. Рационализм и иррационализм математического знания в контексте методологии образования / Н.В. Михайлова // Матэматыка: праблемы выкладання. - 2005. - № 3. - С. 3-8.
9. Михайлова, Н.В. Мезомир науки и онтологические основания мате-матики / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2005. - № 4. - С. 106-112.
10. Михайлова, Н.В. Философские проблемы обоснования научного знания в современной математике / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2006. - № 1. - С. 49-54.
11. Михайлова, Н.В. Философско-методологические проблемы обоснова-ния математики: к синтезу неформального и формального мышления / Н.В. Ми-хайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2006. - № 1. - С. 32-35.
12. Михайлова, Н.В. Гносеологические возможности математики / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2006. - № 2. - С. 26-29.
13. Михайлова, Н. “Мысли без содержания пусты…”: Математический мир и сознание / Н. Михайлова // Беларуская думка. - 2006. - № 5. - С. 95-100.
14. Михайлова, Н.В. Философский анализ методологических концепций Гейзенберга и Гёделя / Н.В. Михайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2006. - № 4. - С. 58-61.
15. Михайлова, Н.В. Загадка “непостижимой эффективности математики” и математический платонизм / Н.В. Михайлова // Матэматыка: праблемы выкладання. - 2007. - № 1. - С. 12-18.
16. Михайлова, Н.В. Психологические интенции тринитарного стиля философско-математического мышления / Н.В. Михайлова // Вышэйшая школа. - 2007. - № 2. - С. 38-42.
17. Михайлова, Н.В. Философско-методологическое значение результатов Гёделя и структура математического мышления / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2007. - № 3. - С. 36-41.
18. Михайлова, Н.В. Теоретическая рефлексия математики в условиях возрастающей сложности науки / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куля-шова. - 2008. - № 1. - С. 161-166.
19. Михайлова, Н.В. Математический платонизм и проблема внутренней непротиворечивости математики / Н.В. Михайлова // Философия науки. - Новосибирск, 2008. - № 1. - С. 80-90.
20. Михайлова, Н.В. Проблема обоснования математики в контексте философской идеи триадичности / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2008. - № 2. - С. 42-47.
21. Михайлова, Н.В. Философская компаративистика и проблема цело-стности математического знания / Н.В. Михайлова // Философия и социальные науки. - 2008. - № 4. - С. 33-38.
22. Михайлова, Н.В. Философия математики в исторической эволюции направлений развития фундаментальной науки / Н.В. Михайлова // Веснiк Брэсцкага унiверсiтэта. Сер. гум. i грам. навук. - 2008. - № 4. - С. 13-20.
23. Михайлова, Н.В. Системная триада философско-методологических программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Философия науки. - Новосибирск, 2009. - № 1. - С. 104-117.
24. Михайлова, Н.В. Математические структуры и фундаментальная двойственность научного познания / Н.В. Михайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2009. - № 3. - С. 94-99.
25. Михайлова, Н.В. Методологическая проблема единства философских программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Философия и социаль-ные науки. - 2009. - № 3. - С. 68-72.
26. Михайлова, Н.В. Онтологическая неопределенность в формировании естественного пространства философии математики / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2009. - № 4. - С. 11-16.
27. Михайлова, Н.В. Тринитарная методология в философском анализе программы обоснования математики / Н.В. Михайлова // Веснiк Брэсцкага унiверсiтэта. Сер. 1. - 2010. - № 2. - С. 36-43.
28. Михайлова, Н.В. Методологические проблемы теоретической математики: три философских аспекта / Н.В. Михайлова // Учебное знание как основа порождения культурных форм в университетском образовании: материалы научно-практ. конф., Минск, 14-15 ноября 2000 г. / ЦПРО БГУ; под ред. М.А. Гусаковского. - Минск: Пропилеи, 2001. - С. 243-254.
29. Михайлова, Н.В. Картезианское понимание науки и конструктивная роль естественнонаучного образования / Н.В. Михайлова // Идея университета: парадоксы самоописания: материалы третьей Междунар. научно-практ. конф., Минск, 29-30 апреля 2002 г. / ЦПРО БГУ; под ред. М.А. Гусаковского, А.А. Полонникова. - Минск: БГУ, 2002. - С. 76-80.
30. Михайлова, Н.В. Стандарты строгости математических рассуждений и проблема вычислительной сложности / Н.В. Михайлова // Образовательные технологии в подготовке специалистов: сборник научных статей: в 5 ч. / МГВРК. - Минск, 2003. - Ч. 4. - С. 64-70.
31. Михайлова, Н.В. Метод дополнительности и философский анализ современной математики / Н.В. Михайлова // Многоступенчатое университет-ское образование: от эффективного преподавания к эффективному учению: материалы четвертой Междунар. научно-практ. конф., Минск, 15-16 мая 2003 г. / ЦПРО БГУ. - Минск: Пропилеи, 2003. - С. 281-287.
32. Михайлова, Н.В. Дуализм методологического подхода Гёделя и реалистические традиции математического образования / Н.В. Михайлова // Инженерно-педагогическое образование: проблемы и пути развития: сборник научных статей: в 2 ч. / МГВРК; под общ. ред. Н.А. Цырельчука. - Минск, 2004. - Ч. 2. - С. 179-184.
33. Михайлова, Н.В. О границе между интуитивным и формальным: иллюзия методологической целостности / Н.В. Михайлова // Философы ХХ века: Хосе Ортега-и-Гассет: материалы Респ. чтений - 9, Минск, 28 января 2004 г. / РИВШ БГУ; редкол.: Я.С. Яскевич [и др.]. - Минск, 2004. - С. 56-59.
34. Михайлова, Н.В. Тринитарный подход к оценочным суждениям о природе математического знания / Н.В. Михайлова // Актуальные проблемы радиоэлектроники: научные исследования, подготовка кадров: сборник научных статей: в 3 ч. / МГВРК; под общ. ред. Н.А. Цырельчука. - Минск, 2005. - Ч. 3. - С. 239-244.
35. Михайлова, Н.В. Постнеклассическое знание и методологические проблемы компьютерной математики / Н.В. Михайлова // Философы ХХ века: Вячеслав Степин: материалы Респ. чтений - 10, Минск, 18 ноября 2004 г. / РИВШ; редкол.: Я.С. Яскевич [и др.]. - Минск, 2005. - С. 95-97.
36. Михайлова, Н.В. Проблема рационального конструирования фундаментальных математических структур / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; редкол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2005. - Вып. 4. - С. 43-55.
37. Михайлова, Н.В. Синтетичность математических истин и постгёде-левские проблемы математики / Н.В. Михайлова // Проблема свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе: материалы Всероссийской науч. конф., Курск, 16-17 мая 2006 г. / КГУ. - Курск, 2006. - С. 387-391.