Введение
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности в научной литературе, выясняется философско-методологическая база, раскрываются теоретические и практические подходы к обоснованию современной математики. Проблема обоснования математики состоит из двух взаимосвязанных уровней - математического и философского. Если сущность первого выявляется через применение программы обоснования к конкретной теории, что составляет чисто математическую работу, то сущность второго характеризуется тем, что каждая программа обоснования нуждается в философском анализе ее соответствия исходной философско-методологической задаче. Кроме того, проблема обоснования настолько тесно связана с философскими императивами конкретной эпохи, что ее исследование невозможно без экспликации соответствующего философского контекста.
Философско-математическому сообществу всегда не хватает таких исследователей в философии науки, которые выполняли бы роль “соединителя” методологически противоположных подходов в математическом знании с помощью современных общефилософских принципов. Некоторые аспекты проблемы обоснования математики достаточно детально обсуждались в связи с рассмотрением различных вопросов философии математики. Можно, например, выделить работы таких известных в области философии математики авторов, как А.Д. Александров, Е.И. Арепьев, А.Г. Барабашев, Н.В. Бугаев, С.Н. Бычков, Г. Вейль, В.Э. Войцехович, К. Гёдель, В.А. Карпунин, В.В. Мороз, Р. Пенроуз, В.Я. Перминов, В.А. Успенский, Г. Фреге, В.В. Целищев и других. Следует отметить, что при изучении конкретных методологических вопросов обоснования современной математики наиболее плодотворным и универсальным философским принципом становится принцип системности.
Специфика философии математики определяется также тем, что как часть философии науки и техники она занимается вопросами обоснования математики. Несмотря на все усилия, предпринятые математиками и философами ХХ века, проблема обоснования современной математики все еще далека от своего окончательного решения. Даже единой системы допущений, имеющих онтологический и гносеологический характер и лежащих в основе любой программы обоснования математики, пока еще нет. Это определяет актуальность темы исследования и необходимость использования принципиально новых философских подходов к проблеме обоснования математики.
Идея системного подхода к обоснованию математики на основе эволюции математического знания в некоторой степени была намечена немецким философом Э. Гуссерлем. Он писал, что “нужно понимать глубокую причину того требования так называемого "теоретико-познавательного обоснования" наук, которое распространилось и, в конце концов, повсеместно утвердилось в Новое время, в то время как ясности по поводу того, чего же не хватает заслужившим столько восхищения наукам, достигнуто не было”. В обосновании математики исторически сосуществуют и взаимодействуют два способа систематизации подходов к обоснованию - теоретический и практический. При теоретическом способе систематизации обоснования математического знания выявляются общие логические связи, продуцируемые познавательными способностями и зафиксированные в специальных понятиях логического вывода.
При практическом способе систематизации обоснования акценты переносятся на выявление наиболее стабильных методов конструирования новых математических объектов, соответствующих прикладным потребностям, которые способствуют эволюции математики в направлении возникновения новых применений математики. Исследуемая проблема решается на основе философского анализа методологических средств различных областей научного знания, которому посвящены работы белорусских ученых - специалистов по философии, общей и частной методологии науки, логике и методологическим проблемам математики. Это такие хорошо известные исследователи как В.В. Амелькин, В.Ф. Берков, М.И. Вишневский, П.А. Водопьянов, Ф.Д. Гахов, А.Д. Егоров, В.А. Еровенко, Н.И. Жуков, П.П. Забрейко, А.И. Зеленков, П.С. Карако, П.В. Кикель, А.И. Лойко, В.К. Лукашевич, М.А. Можейко, М.А. Слемнев, Э.М. Сороко, В.П. Старжинский, А.И. Осипов, Е.А. Толкачев, Л.М. Томильчик, В.И. Чуешов, Д.И. Широканов, В.И. Янчевский, Я.С. Яскевич и другие.
В отечественной литературе по философии математики отсутствуют комплексные исследования, в которых на основе универсального принципа системности анализировались бы, наряду с логицизмом, основные точки зрения, а именно, формалистская, интуиционистская и платонистская, на способы существования математических объектов. Такой концептуальный подход допускает философско-методологический синтез в форме системной триады программ обоснования, включающей в себя отношение к миру математической реальности, идею формализации и конструктивный момент математического мышления в процессе возникновения новых структур.
Необходимость философско-методологического синтеза программ обоснования обусловлена тем, что философия акцентирует свои когнитивные задачи на выявление теоретически универсального в обосновании математики, а методология - на развитии практической деятельности в конструктивном аспекте и создании условий для дальнейшего развития математики. Философско-методологический синтез отличается от простого соединения принципов тем, что он представляет собой слияние исходных, даже противоположных, принципов с помощью идеи дополнительности в концептуальном подходе, имеющем новый смысл, сущность которого состоит в том, что он задает совокупность методов исследования как составляющую часть методологического арсенала. Поэтому попытка реализации такого синтеза носит предварительный характер и не может заключать в себе окончательную истину. Взаимопониманию философов и математиков способствовали известные профессиональные математики, интересующиеся философскими аспектами своей науки.
Среди них необходимо в первую очередь назвать таких выдающихся математиков как Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, Л. Брауэр, Д. Гильберт, Г. Кантор, А.Н. Колмогоров, П.Дж. Коэн, Н.Н. Лузин, Б. Мандельброт, Ю.И. Манин, А.А. Марков, Ю.В. Матиясевич, П.С. Новиков, А. Пуанкаре, И.Р. Шафаревич и многих других. Хотя еще со времен Платона философы настаивали на строгой разработке системы математических знаний и даже принимали в ней участие, инициатива всегда исходила от самих математиков. Исследования в области обоснования математики преследуют также важнейшие для математики общеметодологические цели. Отличие предлагаемой концепции обоснования современной математики от предыдущих концепций состоит в том, что на основе философско-методологического синтеза она сводит различные элементы совокупного математического знания в целостную систему, обеспечивая тем самым единство многообразия математических теорий, способствующее приращению знания и новым способам коммуникации в современной математике.
Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки Белорусского государственного университета. Исследования проводились в рамках философской научно-исследовательской темы, выполнявшейся по совместному гранту БРФФИ-РГНФ “Конструктивность и диалог в основаниях физико-математического знания: история и современность” и реализованной в 2005-2007 годах, проект № Г05Р-015, а также комплексной научно-исследовательской темы кафедры философии и методологии науки ФФСН БГУ “Судьбы рациональности в культуре глобализирующегося мира”, разрабатываемой в 2005-2009 годах, проект № 20051407, которые соответствуют приоритетным направлениям фундаментальных научных исследований в области философии науки и техники.
Цель и задачи исследования.
Целью диссертационного исследования является разработка целостной интегральной концепции обоснования современной математики, связанной с идеей утверждения философско-методологического синтеза существующих программ обоснования математического знания. Реализация указанной цели предполагает последовательное решение следующих взаимосвязанных философских задач:
1. Осуществить конкретизацию философского принципа системности путем раскрытия генезиса программ обоснования математики, как главных объектов сравнения, и эксплицировать недостаточность методологических предпосылок программы логицизма в приращении математического знания.
2. Реконструировать философские проблемы программ обоснования формализма и интуиционизма, восходящие к общему источнику - идее актуальной бесконечности, на основе чего раскрывается также необходимость экспликации философской концепции математического платонизма.
3. Разработать новую концептуальную идею философии математики, состоящую в выявлении, упорядочении и прогнозировании результирующих пересечений имеющихся программ обоснования современной математики на основе их особого философско-методологического синтеза.
4. Выявить эффективные пути выхода из методологического кризиса в обосновании математики с учетом эволюции математического знания на примере философской репрезентации фрактальной геометрии, рассматриваемой в качестве нового направления постнеклассической математики.
5. Обосновать необходимость нового уровня рефлексии в проблемном поле исследований по философии математики, позволяющего замкнуть бинарную оппозицию существующих программ обоснования математики “формализм - интуиционизм” в системную триаду, образующую устойчивую целостность.
Объектом исследования диссертационной работы является современная математика как совокупность абстрактных структур, а предметом исследования в рамках философии математики - целостная концепция совмещения основных направлений обоснования математики, которая в наибольшей степени соответствует пониманию сущности математики как развивающейся науки.
Положения, выносимые на защиту.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, являются конкретизацией философского принципа системности в концепции обоснования современной математики, в рамках которой проблема обоснования приобретает новый методологический смысл и философскую перспективу:
1. Сложившиеся представления о предметах и явлениях материального мира как системных образованиях оказываются недостаточными при исследовании особенностей развития математики, а также ее философского обоснования. В этой связи возникает потребность “расширения” принципа системности, включения в его содержание новых теоретических идей, генезиса абстрактных математических структур и наиболее плодотворных направлений обоснования современной математики. Неудача развития программы логицизма, выявившая недостаточную ясность абстрактных понятий математики, неустранимую с помощью сведения математики к логике, проблематизировала методологические причины обнаруженных в математике парадоксов, которые оказались гораздо более глубокими, чем это представлялось логицистам.
2. Преимущественное внимание в проблеме обоснования математики уделяется анализу эвристического потенциала идей формализма и интуиционизма, так как с помощью этих программ изначально должна была быть обоснована в рамках математики непротиворечивость математических теорий. Затруднения в обосновании математики носят философский характер, хотя зависимость формалистской программы от чисто философских предпосылок является гораздо меньшей, чем, например, зависимость от них интуиционизма, поэтому выход из разногласий приходится искать не в математике, а в рамках общенаучной методологической концепции системного подхода. Необходимость использования философско-методологического синтеза в области обоснования математики может способствовать выявлению внешних оснований математики. В контексте философской компаративистики, формирование проблемного поля обоснования в философии математики не должно зависеть только от ограниченного фрагмента арифметики, а также логической или предметной очевидности.
3. Критический пересмотр широко распространенных в философской среде воззрений на основания современной математики в пользу одной из действующих программ обоснования можно уподобить кризису научной мысли. Философско-методологический синтез сводит различные направления обоснования математики в целостность, обеспечивая тем самым единство математического знания. Такой подход обусловливает и стимулирует процесс обоснования математики двояко: специальными методами синтеза математических знаний и синтезом самих методов математического познания. Речь идет о единстве обосновательных программ и оснований математики в эпистемологическом плане. Теоретические предпосылки философско-методологического анализа в новом подходе к обоснованию современной математики характеризуются также закреплением конструктивного разнообразия математической деятельности.
4. Современная математика достигла такого уровня зрелости, что даже инкорпорирует свои методы в анализ собственной структуры, переходя тем самым со стадии экстенсивного роста на новую стадию философской рефлексии. Общая характеристика путей обоснования непротиворечивости математических теорий выявила существенность допущений о достоверности используемых в них методов, определяемых существующими тенденциями в философии математики. Однако философско-методологическую критику метаматематики нельзя признать полностью корректной, поскольку ни одна математическая теория изначально не является абсолютно непротиворечивой в силу неустранимости латентной неопределенности ее основных объектов и аксиом. Философско-методологический синтез с помощью системной триады основных направлений обоснования математики, а именно, формализма - платонизма - интуиционизма, позволяет убедиться в том, что глубокие противоречия в хорошо развитой математической теории маловероятны.
5. Разработка содержательных и формальных средств концептуального развития интегральной программы обоснования современной математики как системное освоение сложных взаимодействий имеет значительный эвристический потенциал. Истоки непротиворечивости современной математики лежат в ее системности, а локальная непротиворечивость математической теории обеспечивается генетической связью понятий. Формирование новой философско-методологической концепции обоснования математики учитывает ее характер как самоорганизующейся системы. Она снимает неоправданные ограничения на принципы метатеории, определяемые в рамках математических критериев непротиворечивости и полноты, и, опираясь на гносеологические критерии системности и целостности, способствует конкретизации метатеории.