Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

лучше ли подождать и посмотреть, во что превратятся эти трудности после изменений?» Однако трудности остаются

ипосле соединения электродинамики с квантовой механи­ кой, так что рассмотрение их сейчас не будет напрасной тратой времени; вдобавок они очень важны с исторической точки зрения. Кроме того, если вы в силах столь глубоко проникнуть в теорию, чтобы увидеть в ней все, не исключая

итрудностей, то это дает вам известное чувство завершен­ ности.

Трудность, о которой я собираюсь говорить, связана с приложением понятий электромагнитного импульса и энергии

кэлектрону или другой заряженной частице. .Понятия про­ стых заряженных частиц и электромагнитного поля как-то не согласуются друг с другом. Описание этой трудности мы начнем с некоторых примеров вычисления энергии и импульса. Найдем сначала энергию заряженной частицы. Представьте, что мы взяли простейшую модель электрона, когда весь его заряд q равномерно распределен по поверхности сферы ра­ диусом а. В специальном случае точечного заряда мы можем положить его равным нулю. Теперь вычислим энергию элек­ тромагнитного поля. Если заряд неподвижен, то никакого магнитного поля вокруг нет, и энергия в единице объема будет пропорциональна квадрату напряженности электриче­ ского поля. Величина же напряженности электрического поля равна <7/4яеог2, поэтому плотность энергии

ч2

32л2есг* ‘

Чтобы получить полную энергию, нужно эту плотность проинтегрировать по всему пространству. Используя элемент объема 4яr2dr, найдем полную энергию, которую мы обозна­ чим через С/ол:

Это выражение интегрируется очень просто. Нижний предел интегрирования равен а, а верхний — бесконечности, поэтому

Если вместо q подставить заряд электрона qe и обозначить символом е2 комбинацию q2/4m 0, то получим

Все идет хорошо до тех пор, пока мы не переходим к точеч­ ному заряду, т. е. пока мы не положим а = 0. Но как только

аоб

мы переходим к точечному заряду, начинаются все наши беды. И все потому, что энергия поля изменяется обратно пропор­ ционально четвертой степени расстояния, интеграл по объему становится расходящимся, а количество энергии, окружающей точечный заряд, оказывается бесконечным.

Но чем, собственно, плоха бесконечная энергия? Есть ли какая-то реальная трудность в том, что энергия никуда не может уйти от заряда и обречена навсегда оставаться около него? Досадно, конечно, что величина оказалась бесконечной, но главный вопрос в том — есть ли здесь какой-нибудь наблю­ даемый физический эффект? Чтобы ответить на него, нужно обратиться не к энергии, а к чему-то другому. Нас может, скажем, заинтересовать, как изменяется энергия, когда заряд движется. Если при этом окажется бесконечным изменение, то дело совсем плохо.

§ 2. Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предполо­ жим на минуту, что скорость его мала по сравнению со ско­ ростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс —даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы —это импульс электро­ магнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадаете ней по направлению. В точке Р, находящейся на расстоянии г от центра заряда, и под углом 0 к линии его движения (фиг. 28.1) электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно v X Е/с2. Плотность же импульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

g = е0Е X В.

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

g = - ^ £ 2sin0.

Поле симметрично относительно линии движения заряда, по­ этому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полу­ ченный в результате импульс будет параллелен скорости v. Величину составляющей вектора g в этом направлении, рав­ ную g sin 0, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость кото­

SOT

Интегрирование no 0 ведется в пределах от 0 до я, так что этот интеграл дает просто множитель 4/з. т. е.

Р= Т ~ i r \ W d r .

А такой интеграл (для v «С с) мы только что вычисляли, что­ бы найти энергию; он равен q2/l6n2ela, так что

2 __ v_

Р3 4яе0 ас2 ’

или

Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался про­ порциональным v. В частности, то же самое выражение полу­ чилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту про­ порциональности при v. Вот почему этот коэффициент пропор-

Ф иг. 28.2. Элемент объема 2nr2sin 0 dQ dr, используе­ мый при вычислении им• пульса поля.

§ 3. Электромагнитная масса

Откуда же вообще возникло понятие массы? В наших за­ конах механики мы предполагали, что любому предмету при­ суще некое свойство, называемое массой. Оно означает про­ порциональность импульса предмета его скорости. Теперь же мы обнаружили, что это свойство вполне понятно —заряжен­ ная частица несет импульс, который пропорционален ее ско­ рости. Дело можно представить так, будто масса—это просто электродинамический эффект. Ведь до сих пор причина воз­ никновения массы оставалась нераскрытой. И вот, наконец, в электродинамике нам представилась прекрасная возмож­ ность понять то, чего мы никогда не понимали раньше. Прямо как с неба (а точнее, от Максвелла и Пойнтинга) свалилось на нас объяснение пропорциональности импульса любой за­ ряженной частицы ее скорости через электромагнитные свой­ ства.

Но давайте все-таки встанем на более консервативную точ­ ку зрения и будем говорить, по крайней мере временно, что имеется два сорта масс и что полный импульс предмета дол­ жен быть суммой механического и электромагнитного импуль­ сов. Причем механический импульс равен произведению «ме­ ханической» массы mMei на скорость v. В тех экспериментах, где масса частицы измеряется, например, определением им­ пульса или «кручением на веревочке», мы находим ее полную

са может состоять из двух (а может быть, и из большего чис­ ла, если мы учтем другие поля) частей: механической и элек­ тромагнитной. Мы знаем, что наверняка имеется электромаг­ нитная часть; для нее у нас есть даже формула. А сейчас появилась увлекательная возможность выбросить механиче­ скую массу совсем и считать массу полностью электромаг­ нитной.

Посмотрим, каков должен быть размер электрона, если «механическая» часть массы полностью отсутствует. Это мож­ но выяснить, приравнивая электромагнитную массу (28.4)

309

Величина

называется «классическим радиусом электрона» и равна она 2,82 X 1(Н 3 см, т. е. одной стотысячной диаметра атома.

Почему радиусом электрона названа величина го, а не а? Потому что мы можем провести те же самые расчеты с дру­ гим распределением заряда. Мы можем взять его равномерно размазанным по всему объему шара или наподобие пушистого шарика. Например, для заряда, равномерно распределенного по всему объему сферы, коэффициент 2/з заменяется коэффи­ циентом 4Д- Вместо того чтобы спорить, какое распределение правильно, а какое нет, было решено взять в качестве «номи­ нального» радиуса величину г0. А разные теории приписывают к ней свой коэффициент.

Давайте продолжим наше обсуждение электромагнитной теории массы. Мы провели расчет для и < с, а что произой­ дет при переходе к большим скоростям? Первые попытки вы­ числения привели к какой-то путанице, но позднее Лоренц понял, что при больших скоростях заряженная сфера должна сжиматься в эллипсоид, а поля должны изменяться согласно получениым нами для релятивистского случая в гл. 26 фор­ мулам (26.6) и (26.7). Если вы проделаете все вычисления для р в этом случае, то получите, что для произвольной ско­

рости v импульс умножается еще на l / V l — v2Jc2, т. е.

Другими словами, электромагнитная масса возрастает с уве­

личением скорости обратно пропорционально У 1 — v2/c2. Это открытие было сделано еще до создания теории относитель* кости.

Тогда предлагались даже эксперименты по определению зависимости наблюдаемой массы от скорости, чтобы устано­ вить, какая часть ее электрическая по своему происхождению, а какая — механическая. В те времена считали, что электро­ магнитная часть массы должна зависеть от скорости, а ее механическая часть — нет.

Но пока ставились эксперименты, теоретики тоже не дре­ мали. И вскоре была развита теория относительности, кото­ рая доказала, что любая масса, независимо от своего проис­

хождения, должна изменяться как т 0/У 1 — v2jc2. Таким об­ разом, уравнение (28.7) было началом теории, согласно кото­ рой масса зависит от скорости.

А теперь вернемся к нашим вычислениям энергии поля, которые привели к выводу выражения (28.2). Энергия U

310