Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

лучающего з. пустое пространство, возможен только, один ис­ точник таких сил — действие одной части электрона на другую.

В гл. 32 (вып. 3) мы обнаружили, что осциллирующий заряд излучает энергию со скоростью

Давайте посмотрим, какая мощность необходима для преодо­ ления силы самодействия (28.9). Мощность, как известно, равна силе, умноженной на скорость, т. е. Fx:

Первый член пропорционален dx2ldt и поэтому соответствует скорости изменения кинетической энергии xkmv2, связанной с электромагнитной массой. А второй соответствует излуче­ нию мощности (28.10). Однако он отличается от (28.10). Раз­ ница состоит в том, что (28.11) справедливо в общем случае, тогда как (28.10) верно для осциллирующего заряда. Мы можем доказать, что эти два выражения для периодического движения заряда эквивалентны. Перепишем для этого второй член выражения (28.11) в виде

что будет просто алгебраическим преобразованием. Если движение электрона периодическое, то величина хх периоди­ чески возвращается к одному и тому же значению. Так что если мы возьмем среднее значение ее производной по вре­ мени, то получим нуль. Однако второй член всегда положи­ телен (как квадрат величины), так что его производная тоже положительна. Соответствующая ему мощность как раз равна выражению (28.10).

Итак, слагаемое с х в выражении для силы самодействия необходимо для сохранения энергии излучающей системы и не может быть выброшено. Это было одним из триумфов тео­ рии Лоренца, доказавшего возникновение такого слагаемого в результате воздействия электрона самого на себя. Мы вы­ нуждены поверить в идею самодействия и необходимость

слагаемого с х. Проблема в том, как сохранить его, изба­ вившись при этом от первого слагаемого в выражении (28.9), которое портит все дело. Этого мы не знаем. Как видите, классическая теория электрона сама себя завела в тупик.

Были предприняты и другие попытки выправить положе­ ние. Один путь был предложен Борном и Инфельдом. Состоит он в очень сложном изменении уравнений Максвелла, так что они перестают быть линейными. При этом можно сделать так,

316

чтобы энергия и импульс оказались конечными. Но предло­ женные ими законы предсказывают явления, которые никогда не наблюдались. Их теория страдает еще и другим недостат­ ком, к которому мы придем позднее и который присущ всем попыткам избежать описанную трудность.

Следующая интересная возможность была предложена Дираком. Он рассуждал так: давайте допустим, что действие электрона на себя описывается не первым слагаемым выра­ жения (28.9), а вторым. И тогда ему пришла заманчивая идея избавиться от первого слагаемого, сохранив при этом второе. Смотрите —сказал он, — когда мы брали только за­ паздывающие решения уравнений Максвелла, это условие вы­ ступало как дополнительное предположение; если бы вместо запаздывающих мы взяли опережающие волны, то ответ по­ лучился бы несколько другим. Выражение для силы самодействия приобрело бы вид

Это выражение в точности такое же, как и (28.9), за исклю­ чением знака перед вторым и некоторыми высшими членами ряда. [Замена запаздывающих волн опережающими означает просто смену знака запаздывания, что, как нетрудно видеть, эквивалентно изменению знака t. В выражении (28.9) это приводит только к изменению знака всех нечетных производ­ ных.] Итак, Дирак предложил: давайте примем новое пра­ вило, что электрон действует на себя полуразностью созда­ ваемых им запаздывающих и опережающих полей. Полуразность выражений (28.9) и (28.12) дает

2 ег

F= — -g —г х + Высшие члены.

Во всех высших членах радиус а входит в числитель в поло­ жительной степени. Поэтому, когда мы переходим к пределу точечного заряда, остается только один член — как раз тот, который нам нужен. Таким путем Дирак сохранил радиа­ ционное сопротивление и избавился от силы инерции. Элек­ тромагнитная масса исчезла, классическая теория спасена, но благополучие это достигнуто ценой насилия над самодействием электрона.

Произвол дополнительных предположений Дирака был устранен, по крайней мере до некоторой степени, Уилером и Фейнманом, которые предложили еще более странную тео­ рию. Они предположили, что точечный заряд взаимодей­ ствует только с другими зарядами, но взаимодействие идет наполовину через запаздывающие, наполовину через опере­ жающие волны. Самое удивительное, как оказалось, что

817

в большинстве случаев вы не видите эффекта опережающих волн, но они дают как раз нужную силу радиационного со­ противления. Однако радиационное сопротивление возникает не как самодействие электрона, а в результате следующего интересного эффекта. Когда электрон ускоряется в момент t, то он влияет на все другие заряды в мире в поздний момент t' = t-\-г!с (где г— расстояние до других зарядов) из-за за­ паздывающих волн. Но затем эти другие заряды действуют снова на первоначальный электрон с помощью опережающих волн, которые приходят к нему в момент равный /' минус г/с, что как раз равно t. (Они, конечно, воздействуют и с по­ мощью запаздывающих волн, но это просто соответствует обычным «отраженным» волнам.) Комбинация опережаю­ щих и запаздывающих волн означает, что в тот момент, когда электрон ускоряется, осциллирующий заряд испытывает воз­ действие силы со стороны всех зарядов, которые «пригото­ вились» поглотить излученные им волны. Вот в какой петле запутались физики, пытаясь спасти теорию электрона!

Я расскажу вам еще об одной теории, чтобы показать, до каких вещей додумываются люди, когда они увлечены. Это несколько другая модификация законов электродинамики, ко­ торую предложил Бопп.

Вы понимаете, что, решившись изменить уравнения элек­ тромагнетизма, можно делать это в любом месте. Вы мо­ жете изменить закон сил, действующих на электрон, или мо­ жете изменить уравнения Максвелла (как это будет сделано в теории, которую я собираюсь описать) или еще что-нибудь. Одна из возможностей — изменить формулы, определяющие потенциал через заряды и токи. Возьмем формулу, которая выражает потенциалы в некоторой точке через плотности то­ ков (или зарядов) в любой другой точке в ранний момент времени. С помощью четырехвекторных обозначений для по­ тенциалов мы можем записать ее в виде

<2 < ш >

Удивительно простая идея Боппа заключается в следующем. Может быть, все зло происходит от множителя 1/г под инте­ гралом. Предположим с самого начала, что потенциал в од­ ной точке зависит от плотности зарядов в любой точке как некоторая функция расстояния между точками, скажем как f(r 12). Тогда полный потенциал в точке 1 будет определяться интегралом по всему пространству от произведения /ц на эту функцию:

AAl) = [k(2)f(r^dV2.

318

Ф и г. 28.4. Функция F ($*), ис• пользуемая в нелокальной теории Боппа.

Вот и все. Никаких диффе­ ренциальных уравнений, ни­ чего больше. Есть только еще одно условие. Мы долж­ ны потребовать, чтобы ре­ зультат был релятивистски инвариантным. Так что в ка­ честве «расстояния» мы дол­ жны взять инвариантное «расстояние» между двумя точками в пространстве-вре­

мени. Квадрат этого расстояния (с точностью до знака, кото­ рый несуществен) равен

S12 = с2 (* I “ Q 2 “ Г%= С2 ( /, - /2) 2 - (* , - * 2) 2 -

- { t J i - y t f - i z x - Z i ) - . (28.14)

Так что для релятивистской инвариантности теории функция должна зависеть от s12 или, что то же самое, от sj2. Таким

образом, в теории Боппа

(Интеграл, разумеется, должен браться по четырехмерному объему dt2dx2dy2dz2.)

Теперь остается только выбрать подходящую функцию F. Относительно нее мы предполагаем только одно, что она повсюду мала, за исключением области аргумента вблизи нуля, т. е. что график F ведет себя подобно кривой, изобра­ женной на фиг. 28.4. Это узкий пик в окрестности s2 = 0, ши­ риной которого грубо можно считать величину а2. Если вы­ числяется потенциал в точке /, то приближенно можно утвер­ ждать, что заметный вклад дают только те точки 2, для ко­ торых Si2 — с2 (t2— / 2) 2— rj2 отличается от нуля на ± а 2. Это

можно выразить, сказав, что F важно только для

Если понадобится, можно проделать все математически бо­ лее строго, но идея вам уже ясна.

319

Предположим теперь, что а очень мало по сравнению с размерами обычных объектов типа электромоторов, генера­

дают вклад только те токи, для которых t\ — t2 очень мало:

С ( / , - g « V r ! 2 ± ° 2 = Г1 2 д / 1 ± - ^ •

Но поскольку a2/ri2 ^ 1> то квадратный корень приближенно равен 1 ± a2/2r2v так что

В чем здесь суть? Полученный результат говорит, что для i4(i в момент ti важны только те времена t2, которые отли­ чаются от него на запаздывание г^/с с пренебрежимо малой поправкой, ибо г\2 а. Другими словами, теория Боппа пе­ реходит в теорию Максвелла при удалении от зарядов в том смысле, что она приводит к эффекту запаздывания.

Мы можем приближенно увидеть, к чему нас приведет интеграл (28.15). Если, зафиксировав г\2, провести интегри­ рование по t2 в пределах от —оо до -foo, то &,22 тоже будет

изменяться от —с» до +°°- Но основной вклад даст участок по t2 шириной Л<2 = 2 -а2/2 г12с с центром в момент f j— Г|2М Пусть функция F(s2) при s2 = О принимает значение К, тогда интегрирование по t2 дает приблизительно /С/»* А/д, или

Ка2 /у

сг „ *

Разумеется, величину /ц следует взять в момент t2 = t\ — г12/с, так что (28.15) принимает вид

- v ( i . o =

Если выбрать К = q2cl4neoa2, то мы придем прямо к запазды­ вающему решению уравнений Максвелла для потенциалов, причем автоматически возникает зависимость \/г\ И все это получилось из простого предположения, что потенциал в од­ ной точке пространства-времени зависит от плотности токов во всех других точках пространства-времени с весовым мно­ жителем, в качестве которого взята некая функция четырех­ мерного расстояния между двумя точками. Эта теория дает конечную электромагнитную массу электрона, а соотношение между энергией и массой как раз такое, какое требуется в теории относительности. Ничего другого не могло и быть, ибо теория релятивистски инвариантна с самого начала.

320