Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

(по крайней мере на время) правил дифференциального ис­ числения относительно того, на что действует оператор произ­ водной. Вы знаете, что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчисле­ нии: f(dfdx)g не то же самое, что g\djdx)f\ и, во-вторых, в векторной алгебре: а X b отличается от b X а. Мы можем, если захотим, на минуту отказаться от правил дифференци­ ального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что произ­ водная действует на все стоящее правее от нее, мы примем новое правило, избавляющее нас от порядка, в котором запи­ саны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.

Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем указывать, на что же именно действует дифференциальный оператор: при этом порядок сомножителей не имеет никакого значения. Допустим, что оператор д/дх мы обозначили через D. Тогда символ D; говорит, что берется производная только функции f, т. е.

Но если мы имеем выражение Djfg, то оно означает

Заметим теперь, что, согласно нашему новому правилу, fDfg означает то же самое. Одно и то же выражение можно запи­ сать любым из следующих способов:

Dffg = gDff = fDfg = fgDf.

Вы видите, что Df может стоять даже после всего. (Странно, почему такому удобному обозначению обычно не учат в кни­ гах по математике и физике.)

Вы, пожалуй, удивитесь: а что, если я хочу написать про­ изводную от fg? Если мне нужна производная от обоих членов? Это очень легко: вы пишете Df(fg) + De(fg), т. е. g(dffdx)-\- f(dg/dx), что в старых обозначениях как раз равно d(fg)/dx.

Вы сейчас увидите, как просто теперь получить новое вы­ ражение для V-(BXE). Начнем с перехода к новому обо­ значению и напишем

Как только мы сделали это, уже нет больше нужды придер­ живаться строгого порядка. Мы всегда знаем, что Те дейст­ вует только на Е, а VB действует только на В. При этих об­ стоятельствах оператором Т можно пользоваться как обыч­ ным вектором. (Разумеется, после того как все будет

291

окончено, нам захочется вернуться к «стандартным» обозна­ чениям, которые обычно используются.) Таким образом, те­ перь мы можем делать различные перестановки сомножите­

в порядке. Если же мы теперь попытаемся вернуться к старым обозначениям, то должны будем расположить операторы V так, чтобы они действовали на свои «собственные» перемен­ ные. В первом из них все в порядке, так что мы можем про­ сто опустить индекс у V. Второй же требует некоторой реорга­ низации, чтобы оператор V поставить перед Е. Этого можно добиться, переставляя сомножители в векторном произведе­ ния и меняя знак:

(В этом специальном случае быстрее было бы использовать компоненты, но, право же, стоило потратить время ради того, чтобы показать вам математический трюк. Может случиться, что вы больше нигде его не встретите, а он очень удобен тогда, когда в векторной алгебре нужно освободиться ог правила порядка членов при дифференцировании.)

Вернемся теперь к нашему закону сохранения энергии, причем для преобразования V X В в (27.7) мы используем новый результат— равенство (27.11). Вот что оно дает:

Е • j = е0сг? - (В X Е) + ейс2В • (V X Е) —

(27Л2)

Теперь вы видите, что мы почти у цели. Одно из наших слагаемых — настоящая производная по t, ее мы используем при образовании и, а другое (превосходная дивергенция) вой­ дет в S. К несчастью, справа в середине осталось еще одно слагаемое, которое не является ни дивергенцией, ни производ­ ной по t. Так что пока еще не все закончено. После некоторых размышлений мы опять обращаемся к уравнениям Максвел­ ла и, к счастью, обнаруживаем, что (V X Е) равно —dBjdt.

Это позволяет превратить дополнительный член в чистую производную чего-то по времени:

B . ( V X E ) = B . ( - £ ) = - 3 r ( “i r ) .

262

Вот теперь v няс получилось то, что нужно. Уравнение для энергии переписывается в виде

вточности напоминает уравнение (27.6). (Перестановкой со­ множителей в векторном произведении мы добиваемся пра­ вильного знака.)

Итак, наша программа успешно выполнена. Из выражения для плотности энергии мы видим, что она представляет сумму «электрической» и «магнитной» плотностей энергии, которые

вточности равны выражениям, полученным нами в статике,

когда мы находили выражение для энергии через поля. Кроме

того, мы получили выражение для вектора потока энергии электромагнитного поля. Этот новый вектор S = еос2Е X В по имени своего первооткрывателя называется «вектором Пойнтинга». Он говорит нам о скорости, с которой энергия дви­ жется в пространстве. Энергия, протекающая в секунду через малую поверхность da, равна S-nda, где п —вектор, перпен­ дикулярный к поверхности da. (Теперь, когда у нас есть фор­ мулы для и и S, можете, если хотите, забыть все выкладки.)

§ 4. Неопределенность энергии поля

Прежде чем заняться некоторыми приложениями формул Пойнтинга [т. е. выражений (27.14) и (27.15)], я хотел бы заметить, что на самом деле мы их не «доказали». Все, что мы сделали, —это нашли только возможное и и возможное S. Но откуда же нам известно, что, покрутив формулами, мы не придем к другому выражению для и и другому выражению для S? Новое S и новое и будут отличаться от старых, но по-прежнему будут удовлетворять уравнению (27.6). Такое вполне может случиться. Однако в формулы, которые полу­ чаются при этом, всегда входят различные производные полей (причем это всегда члены второго порядка типа второй произ­ водной или квадрата первой производной). Для и и S можно фактически написать бесконечное число различных выраже­ ний, и до сих пор никто не думал над экспериментальной проверкой того, которое же из них истинное. Люди полагают, что простейшее выражение, по-видимому, и должно быть ис­ тинным, но надо сознаться, что мы так и не знаем, как же па

293

самом деле распределена энергия в электромагнитном поле. Пойдем по тому же легчайшему пути и постулируем, что энергия поля определяется выражением (27.14). При этом вектор потока S должен задаваться уравнением (27.15).

Самое интересное то, что единого способа избавиться от неопределенности энергии поля, по-видимому, вообще нет. Иногда утверждают, что эту проблему можно разрешить, ис­ пользуя теорию гравитации; при этом приводятся такие до­ воды. В теории гравитации источником гравитационного при­ тяжения является вся энергия. Поэтому если нам известно, какие гравитационные силы действуют на свет, то можно правильно определить плотность энергии электричества. До сих пор, однако, такими тонкими экспериментами, которые позволили бы точно определить гравитационное влияние на электромагнитное поле, никто не занимался. Впрочем, уста-* новлено, что свет при прохождении около Солнца откло­ няется, поэтому мы можем говорить, что Солнце притягивает к себе свет. Во всяком случае, найденные нами выражения для электромагнитной энергии и потока всегда всеми призна­ вались. И хотя иногда результаты, полученные с их использо­ ванием, казались странными, никто никогда не обнаружил в них чего-то невероятного, какого-то расхождения с экспе­ риментом. Согласимся со всеми и будем считать, что, повидимому, здесь все в порядке.

Мне хотелось бы сделать еще одно замечание о формуле для энергий. Прежде всего формула для энергий поля в еди­ нице объема очень проста —это сумма электрической и маг­ нитной энергий, если электрическую энергию мы определим как Е2, а магнитную — как В2. Эти выражения были найдены нами как возможные выражения для энергии при рассмотре­ нии статических задач. Кроме него, мы нашли для энергии электростатического поля и несколько других выражений, на­ пример рф, которое в электростатическом случае равно инте­ гралу от Е-Е. Однако в электродинамическом случае это ра­ венство нарушается, и нет критерия, позволяющего устано­ вить, которая из формул правильна. Но теперь мы это знаем. Аналогично мы нашли выражение для магнитной энергии, которое верно в самом общем случае.

§ 5. Примеры потоков энергии

Наша формула для вектора потока энергии S представляет нечто новое. Теперь следует посмотреть, насколько она го­ дится в некоторых специальных случаях, а также проверить ее на том, что мы знали раньше. Первым нашим примером будет свет. В световой волне векторы Е и В направлены под прямым углом друг к другу и направлению распространения

294

Е

Ф и г . 27.2. Векторы Е, В и S световой волны.

волны (фиг. 27.2). В электромагнитной волне величина В равна (lie)Е, а поскольку они направлены под прямым уг­ лом, то величина (ЕХВ) равна просто £ 2/с. Таким образом, для света поток энергии в секунду через единичную поверх­ ность равен

В световой волне, где £ = £ocosco(/ —х/с), средняя скорость' потока энергии через единичную площадь (5)Ср, которая на­ зывается «интенсивностью» света, равна среднему значению электрического поля, помноженному на е0с:

Этот результат, как ни странно, мы уже получали в гл. 31, § 5 (вып. 3), когда изучали свет. Мы получили его совсем другим путем и поэтому можем сейчас в него поверить. Когда у нас есть пучок света, то плотность энергии в пространстве задается уравнением (27.14). Воспользовавшись теперь тем, что в световой волне сВ = £, получаем

н = - | - £ 2 + - ^ - ( - ^ ) = е0£ 2.

Однако вектор Е изменяется в пространстве, поэтому средняя плотность энергии равна

Далее, свет распространяется со скоростью с, поэтому мож­ но думать, что энергия, проходящая в секунду через квадрат­ ный метр, равна произведению с на количество энергии в кубическом метре, т. е.

("S)cp — В д С ( Е ^ с р .

Все в порядке. Мы снова получили выражение (27.17). Возьмем теперь другой пример, на этот раз очень любо­

пытный. Рассмотрим поток энергии в медленно заряжаю­ щемся конденсаторе. (Мы не хотим сейчас иметь дело со столь высокими частотами, при которых конденсатор стано­ вится похожим на резонансную полость, но нам не нужен н постоянный ток.) Возьмем обычный конденсатор с круглыми

295