Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

центы, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dpfjdt. Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна ско­ рости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F«v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F-v, Fx, Fv, Fz), Однако эти величины не составляют четырехвектора.

Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как djdt требует для измерения t не­ которой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt/dt == с. Но на самом деле величины

не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить, в компоненты четырехвектора, если

помножить каждую на 1 /У 1 — v2jc2. «Четырехмернон скоро­ стью» «ц оказался вектор

Вот в чем фокус! Нужно умножать производную djdt на

1 /-\Л ~ v2jc2, если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.

Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть ве­ личина

Но что такое v? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина /д:

за таинственный множитель l / V l — v2/c2. Так как мы встре­ чаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, по­ чему производная djdt всегда должна входить с одним и тем же множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы бе­ рем производную по времени некоторой функции х, то под­

281

считываем приращение Дх за малый интервал Дt перемен* ной t. Но в другой системе отсчета интервал At может соот­ ветствовать изменению как t', так и х', так что при изменении только V изменение х будет другим. Для наших дифференци­ рований следовало бы найти такую переменную, которая была бы мерой «интервала» в пространстве-времени и оставалась бы той же самой во всех системах отсчета. Когда в качестве этого интервала мы принимаем приращение Ах, то оно будет тем же во всех системах отсчета. Когда частица «движется» в четырехмерном пространстве, то возникают приращения как At, так и Д ат, Ау, Аг. Можно ли из них сделать интервал? Да,

что представляет четырехмерное скалярное произведение, то в ней мы приобретаем настоящий скаляр и можем пользо­ ваться им для измерения четырехмерного интервала. Исходя из величины As или ее предела ds, мы можем определить па­

раметр s = J ds. Хорошим четырехмерным оператором будет

и производная по s, т. е. d/ds, так как она инвариантна отно­ сительно преобразований Лоренца.

Для движущейся частицы ds легко связывается с dt. Для точечной частицы

есть инвариантный оператор. Если подействовать им на лю­ бой четырехвектор, то получим другой четырехвектор. Напри­ мер, если мы действуем им на (cl, х, у, г), то получаем че­ тырехвектор скорости

Теперь мы видим, почему V 1 — v2/c2 поправляет дело. Инвариантная переменная s — очень полезная физическая

величина. Ее называют «собственным временем» вдоль траек­ тории частицы, ибо в системе, в любой момент движущейся вместе с частицей, ds просто равно интервалу времени. (В этой системе Дх = Ау = Аг — 0, a As — At.) Если вы

282

представите себе часы, скорость хода которых не зависит от ускорения, то, двигаясь вместе с частицей, такие часы будут показывать время s.

Теперь можно вернуться назад и записать закон Ньютона (подправленный Эйнштейном) в изящной форме:

рию частицы. Наконец, четырехмерные обозначения приводят нас к очень простой форме уравнений движения:

d^x

(26.34) напоминающей уравнения F = та. Важно отметить, что урав­

скую механику, которая при больших скоростях отличается от механики Ньютона. Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно было переписать урав­ нения в релятивистской форме, совершенно не изменяя их смысла, а изменяя лишь обозначения.

Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть.

Три компоненты F, поделенные на д/l — с2/с2, составляют про­ странственные компоненты /ц, так что

?( Е + у ХВ),

V I - I'Ve*

Теперь мы должны подставить все величины в их релятивист­

4-скорости и,л. Компоненты же Е и В входят в электромагнит­ ный тензор второго ранга Fit4. Отыскав в табл. 26.1 компо* ненты F,4v, соответствующие Ех, Вг и В„, получим

fx ~ Я {ut^xt u,jFху ~ uzFЛг);

здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каж­ дом слагаемом есть индекс х, и это разумно, ибо мы находим

283

^-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах tt, уу, гг — все, кроме слагаемого с хх, которое кудато делось. Давайте просто вставим его и запишем

fх = Я — uxFxx •— tiyFXy — uzFx^. (26.36)

Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисиммет­ рии F^v слагаемое Fxx равно нулю. Причиной же нашего же­ лания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36):

Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в про­ изведении дважды (подобно v), нужно автоматически сумми­ ровать все слагаемые с одинаковыми значениями этого ин­ декса точно так же, как и в скалярном произведении, т. е.

пользуясь тем же самым правилом знаков.

Нетрудно проверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для у. — у и для р = г. Но как обстоит дело с ц = i? Посмотрим для забавы, что дает формула

ft = q (utFtt — uxFix — uyFiy — u2Fu).

Теперь мы снова должны перейти к Е и В. После этого получается

Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным урав­ нением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем.

284

285