Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчао мы увидим, как это делается.

Как можно найти закон преобразования полей? Нам из-* вестны законы преобразования <р и А, и мы знаем, как вы­ ражаются поля через <р и А, так что отсюда нетрудно найти преобразования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каж­ дого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, например, с вектором Е можно связать некую вели* чину, которая сделает его четырехвектором. То же самое от­ носится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно равно УХА. Теперь мы знаем, что х-, у- и z-компоненты векторного потен­ циала— это только одна часть, помимо них есть еще и f-ком» понента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора V' наряду с производными по х, у и г есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы

z- и ^-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комби­ нацию производных и компонент «гу-штукой», или сокра­

Подобной же «штуке» равна и компонента Bv, но на сей раз это будет «xz-штука», а Ви разумеется, равна «ух-штуке». Таким образом,

Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «/», т. е. Fxt или Ff, (ведь природа должна быть красива и симметрична по х, у, z и /). Что та­ кое, например, Ftl? Разумеется, она равна

Но вспомните, ведь At = ф, поскольку предыдущее выраже­ ние равно

271

Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти 2 -компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте производная по / идет со знаком, противоположным производ­ ным по х, у и г. Так что на самом деле нам следует взять

Теперь она в точности равна —Ez. Так же можно построить Fix и Fty и получить три выражения:

А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа

т. е. просто нуль.

Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ничего нового, ибо

Fху ~ Fyx

и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комби­ наций четырех значений индексов мы получили шесть раз­ личных физических объектов, которые представляют компо­ ненты В и Е.

Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами р и v, каждый из которых может быть 0 , 1 , 2 и 3, обозначающими соответственно (как и в обычных четырехвекторах) /, х, у или z. Кроме того, все бу­ дет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными

а

А(, = (ф, Ах, Ay, Л2).

То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, ко*

272

торые в нашем обычном медленно движущемся Мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном прост­ ранстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки». Наше физическое «поле» на самом деле шестиком­ понентный объект F ^. Вот как обстоит дело в теории относи­ тельности. Полученные результаты для F,1У собраны в табл. 26.1.

Таблица 26J • КОМПОНЕНТЫ

Вы видите, что мы сделали фактически обобщение вектор» ного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свой­ ства преобразования двух векторов —обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обыч­ ному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой ока­ зывается комбинация (xvv— yvx), а при движении в трех­ мерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения:

Lxy — m(xvy — tjvx), Lyz = т (yv2 —zvu), Lzx = m(zvx —xvz).

Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып. 2 ) чудо: эти три величины преврати­ лись в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент Ьц (/ и / равны х, у или г) оказался антисимметричным объектом, т. е.

Li/ — — LJt, Ьц = 0.

три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора.

273

То же свойство позволяет записать в виде вектора и эле­ мент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, ска­ жем dx и dy, которые можно представить вектором da, орто­ гональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси г или по t?

Короче говоря, для трех измерений оказывается, что ком­ бинацию двух векторов типа Ьц, к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонен­ там вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невоз­ можно, поскольку независимых членов шесть, а шесть вели­ чин вы никак не представите в виде четырех.

Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно предста­ вить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два

ахЬх, dXbyf ахЬг,

ауЬг, агЬх> 0>г^у> о>хЬх*

Эти величины можно назвать Тц, Если теперь перейти в повернутую систему координат

'(скажем, относительно оси г), то при этом компоненты а и Ь изменяются. В новой системе ах должно быть заменено на

а' = ах cos 0 + ауsin 0,

а Ьу— на

b'y= bycos 0 — bxsin 0 .

Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины Тц, разу­ меется, тоже изменяются. Например, Тху — ахЬу переходит в

Тху = ахЬд(cos2 0) — ахЬх(cos 0 sin 0) + ауЬу(sin 0 cos 0) —

— nw6x(sin2 0),

или

r'j, = Txgcos2 0 — Txx cos 0 sin 0 -f- Tygsin 0 cos 0 — Tyxsin2 0.

Каждая компонента Т'ц — это линейная комбинация ком­ понент Tij.

Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение аХЬ, три компоненты кото­

274

рого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов T{j можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по слож­ ным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензором. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов —тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.

Суть всего этого разговора в том, что наше электромаг­ нитное поле FpV—тоже тензор второго ранга, так как у него два индекса. Однако это уже тензор в четырехмерном прост­ ранстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора Fду вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и назы­ вается он антисимметричным. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тен­ зора второго ранга в четырехмерном пространстве.

Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуж­ даем о «тензоре второго ранга в четырехмерном простран­ стве».

Теперь нам нужно найти закон преобразования Fuv. Сде* лать это нетрудно — мороки только много, — шевелить моз­ гами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти, —это преобразование Лоренца величины VMAv — VvAw. Так как Vu— просто спе­ циальный случай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной комбинацией векторов, которую можно на­ звать Cpv'

(26.20)

(Для наших целей ад следует, в конце концов, заменить на Vn, а Ьр,— на потенциал Ар.) Компоненты ад и Ьр преобразуются по формулам Лоренца:

(26.21)

275