Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

несколько уравнений; это снова не более чем трюк. Развер­ нув их, вы снова получите то, что было раньше.

Однако закон электродинамики, написанный в форме уравнения (25.29), содержит нечто большее, чем простую за­ пись; в векторном анализе, кроме простоты записи, также есть нечто большее. Тот факт, что уравнения электромагне­ тизма можно записать в особых обозначениях, которые спе­ циально приспособлены для четырехмерной геометрии пре­ образований Лоренца, иначе говоря, как векторные уравне­ ния в четырехмерном мире, означает, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Именно потому, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преоб­ разований, их можно записать в столь красивом виде.

В том, что законы электродинамики можно записать в форме элегантного уравнения (25.29), нет ничего случай­ ного. Теория относительности была развита именно потому, что экспериментально подтвердилась неизменность предска­ занных уравнением Максвелла явлений в любой инерциаль­ ной системе. Именно при изучении трансформационных свойств уравнений Максвелла Лоренц открыл свои преобра­ зования как преобразования, оставляющие инвариантными эти уравнения.

Однако есть и другая причина записывать уравнения в та­ ком виде. Было обнаружено, что все законы физики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (первый об этом догадался Эйнштейн). Таково содержание принципа относительности. Поэтому если вы изобрели обо­ значения, которые сразу же показывают, инвариантен ли вы­ писанный нами закон, то можно гарантировать, что при по­ пытке создать новую теорию вы будете писать только урав­ нения, согласующиеся с принципом относительности.

В простоте уравнений Максвелла в этих частных обозна­ чениях никакого чуда нет. Обозначения специально были при­ думаны именно для них. Самая интересная с физической точки зрения вещь состоит в том, что любой физический за­ кон (будь то распространение мезонных волн, или поведение нейтрино в p-распаде, или что-то другое) должен иметь ту же самую инвариантность относительно тех же преобразова­ ний. Так что если ваш звездолет движется с постоянной ско­ ростью, то все законы природы вместе преобразуются так, что никаких новых явлений не возникает. Именно благодаря тому, что принцип относительности является законом при­ роды, уравнения нашего мира в четырехмерных обозначениях должны выглядеть гораздо проще.

261

262

Лоле о 1 очке (х, у, г) в «настоящий мо­ мент» можно выразить как через ^истинное» положении' Р, так п через «запаздывающее» положение Р' (г. е. положение о мол!ент tf= t —r'ic).

«запаздывающее» время)*. Нам, однако, известно, что заряд двигался с постоянной скоростью по прямой линии, поэтому естественно, что поведение в точке Р' непосредственно свя­ зано с переменным положением заряда. Фактически, если мы добавим предположение, что потенциалы зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент, тогда урав­ нение (2G.1) будет представлять собой полную формулу для потенциалов заряда, движущегося любым образом. Вот как псе это работает. Пусть у вас имеется заряд, движущийся каким-то произвольным образом, скажем, по траектории, изо­ браженной па фиг. 26.2, и вы пытаетесь найти потенциал в точке (х,у,г). Прежде всего вы находите запаздывающее положение Р' и скорость о' в этой точке. Вообразите затем, что заряд сохраняет свое движение с этой скоростью на весь период запаздывания (/' — /), так что он появился бы затем в воображаемом положении Рпр, которое мы будем называть «проекционным», причем двигаясь с той же скоростью v'. (На самом деле он, конечно, не делает этого; в момент t он нахо­ дится в точке Р.) Тогда потенциалы в точке (x,y,z) будут как раз такими, которые дали бы уравнения (26.1) для вооб­ ражаемого заряда в проекционном положении Рир. Мы хо­ тим здесь сказать, что, поскольку потенциалы зависят от того, что делает заряд в запаздывающий момент, они будут одинаковы, независимо от того, продолжает ли заряд свое движение с постоянной скоростью или изменяет его после момента V, т. е. после того, как потенциалы, которые возник­ нут в момент t в точке (х,у,г), уже определены.

Вы понимаете, конечно, что в тот момент, когда получены формулы для потенциалов произвольно движущегося заряда,

* Штрих используется здесь для обозначения запаздывающего поло­ жения и премепи; не путайте его со штрихом о предыдущей главе, обо­ значавшим систему отсчета, подвергнутую преобразованиям Лореица.

263

мы имеем полную электродинамику; из принципа суперпози­ ции мы можем получить потенциалы для любого распределе­ ния зарядов. Следовательно, все явления электродинамики можно вывести либо из уравнений Максвелла, либо из сле­ дующего ряда замечаний. (Запомните их на случай, если вы вдруг очутитесь на необитаемом острове. Исходя из них, можно восстановить все. Преобразования Лоренца вы, ко­ нечно, помните. Не забывайте Их ни на необитаемом острове, ни в каком-либо другом месте.)

Во-первых, Ар — четырехвектор. Во-вторых, кулонов потен­ циал любого покоящегося заряда равен <?/4ле(/. В-третьих, потенциал, созданный зарядом, движущимся произвольным образом, зависит только от положения в запаздывающий момент времени. Из этих трех фактов вы можете получить все. Из того, что Лд— четырехвектор, мы преобразованием кулонова потенциала, который известен, получим потенциал заряда, движущегося с постоянной скоростью. Затем из по­ следнего утверждения, что потенциал зависит только от ско­ рости в запаздывающий момент, мы, используя проекционное положение, можем их найти. Правда, это не очень-то удоб­ ный способ рассмотрения, но интересно убедиться в том, что законы физики можно сформулировать множеством самых различных способов.

Иногда кое-кто безответственно заявляет, что вся электро­ динамика может быть получена только из преобразований Лоренца и закона Кулона. Это, конечно, совершенно неверно. Мы прежде всего должны предположить, что у нас имеются скалярный и векторный потенциалы, которые в совокупности образуют четырехвектор. Это говорит нам, как преобразуются потенциалы. Затем, откуда нам известно, что необходимо учи­ тывать только эффект в запаздывающий момент? Или, еще лучше, почему потенциал зависит только от положения и ско­ рости и не зависит, например, от ускорения? Ведь поля Е и В

264

зависят все-таки и от ускорения. Если вы попытаетесь приме­ нить те же рассуждения к ним, то будете вынуждены при­ знать, что они зависят только от положения и скорости в за­ паздывающий момент. Но тогда поле ускоряющегося заряда было бы таким же, как и поле от заряда в проекционном по­ ложении, а это неверно. Поля зависят не только от положе­ ния и скорости вдоль траектории, но и от ускорения. Так что в «великом» утверждении, что все можно получить из преоб­ разования Лоренца, содержится еще несколько неявных до­ полнительных предположений. (Всегда, когда вы слышите подобное эффектное утверждение, что нечто большое мож­ но построить на основе малого числа предположений,— ищите ошибку. Обычно неявно принимается довольно много такого, что оказывается далеко не очевидным, если посмот­ реть внимательнее.)

§ 2. П оля точечного заряда, движ ущегося с постоянной скоростью

Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движуще­ гося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попа­ даются буквально на каждом шагу, скажем проходящие че­ рез камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике. Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят эти поля для любых скоростей заряда, даже для скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос.

Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов:

E = - V < p - ^ и В = VX А.

Возьмем сначала Ег\

Но компонента Az равна нулю, а дифференцирование выра­ жения (26.1) для <р дает

(26.2)

265