Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы по­ лучили уравнение для четырех векторов, то оно должно вы­ полняться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.

Так как р£р£ — инвариант, то молено вычислить его в ка­

кой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента р* равна энергии покоя четырех протонов, т. е.

4М, а пространственная часть р равна нулю, так что р£ =

=(4М, 0). При этом мывоспользовались равенством масс про­ тона и антипротона, обозначив их одной буквой М.

Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид

Произведения р£р® и р£р& вычисляются очень быстро: «дли­

на» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы:

РиРи—Е2 р2 = М2.

Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько более эффектно, простым замечанием, что в системе покоя частицы Рц= (Л1, 0), а следовательно, р^рд = М2. А так как это инвариант, то он равен М2 в любой системе отсчета. Под­ ставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем

2Р;р> = ш Р

В этой системе четырехвектор р“ — (£“, ра), а /)‘ = (М, 0), ибо он описывает покоящийся протон. Итак, 'р°р£ должно быть

равно МЕа, а мы знаем, что скалярное произведение —это инвариант, поэтому оно должно быть равно значению, най­ денному нами в (25.12). В результате получается

Еа= 7М.

Полная энергия падающего протона должна быть по мень­ шей мере равна 7М (что составляет около 6,6 Гэв, так как М = 938 Мэе) или после вычитания массы покоя М полу­ чаем, что кинетическая энергия должна быть равна по мень­ шей мере 6М (около 5,6 Гэо). Именно с тем, чтобы иметь воз­

251

можность производить антипротоны, беватрон в Беркли про­ ектировался на кинетическую энергию ускоренных протонов около 6 ,2 Гэв.

Скалярное произведение — инвариант, поэтому полезно знать его величину. Что, например, можно сказать о «длине» четырехвектора скорости «цМ^?

I-D* =1 .

т. е. и».— единичный четырехвектор.

§ 3. Четырехмерный градиент

Следующей величиной, которую нам следует обсудить, яв­ ляется четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования д/дх, д/ду, д/дг преобразуются подобно трехмерному вектору и на­ зываются градиентом. Та же схема должна работать и в че­ тырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмерным градиентом должны быть (d/dt, д/дх, д/ду, д/дг), но это неверно.

Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функ­ цию, которая зависит только от х и /. Приращение <р при малом изменении / на At и постоянном х равно

С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя

дЧ -Ъ -Ы + Я-Ы-.

Используя уравнение (25.1), мы можем Выразить Ax' и At' через At. Вспоминая теперь, что величина х постоянна, так что Ах = 0, мы пишем

252

Аналогичные вычисления дают

Теперь вы видите, что градиент получился довольно стран­ ным. Выражения для х и t через х' и V [полученные решением уравнений (25.1)] имеют вид

Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправиль­ ными!

Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента (dfdt, V) правильным:

Мы его обозначим Уц. Для такого Уд трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что Уд «ведет себя как четырех­ вектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент скалярной функции есть четырехвектор. Если ф — настоящее скалярное (лоренц-инвариантное) поле, то Удф будет четы­ рехвекторным полем.

Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди — инва­ риант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном ана­ лизе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение Уд6ц, где Ьц—векторное поле, компоненты которого являются функ­ циями пространства и времени. Мы определим дивергенцию четырехвектора 6д = (bt, Ь) как скалярное произведение Уд на Ьр.\

V » = Ж 4' - ( ~ 1 ) » « - ( - ! § • ) 6»- ( - £ )

где V*b—обычная трехмерная дивергенция вектора Ь. Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения [формула (25.7) ], а другой возникает от пространственных компонент Уд [формула (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7) , есть инвариант, и для всех систем координат, отличаю­ щихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.

253

Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно восполь­ зоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13 § 7, вып. 5), что плот­ ность электрического заряда р и плотность тока j образуют четырехвектор /ц = (р,j). Если незаряженный провод пере­ носит ток }х, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с то­ ком появится и заряд (который возникает согласно закону Цреобразований Лоренца (25.1)]:

Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движу­ щейся системе и найти поля.

Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмер­ ную дивергенцию вектора

Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,

Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму за­ кона сохранения заряда:

в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной си­ стеме, он будет сохраняться и во всех других системах коор­ динат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.

В качестве последнего, примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента Vu на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан

Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения,

254

Таблица 25.2 • ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТРЕХМЕРНОГО И ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА