Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д.

В теории относительности пространство и время неразде­ лимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется проделать и для четырех измерений. Мы хотим, чтобы наши уравнения оставались неизменными не только при враще­ ниях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Это означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25.1). Цель настоя­ щей главы — показать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облег­ чит нашу работу (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света с оказалась равной единице. Вы можете считать, например, что в качестве единицы вре­ мени взят интервал, за который свет проходит отрезок в один метр (это составляет около 3-10-9 сек). Можно даже так и назвать эту единицу времени: «один световой метр». Исполь­ зование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию простран­ ства и времени. Кроме того, из наших релятивистских урав­ нений исчезнут все с. (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении восстановить их или заменить каждое t на cf, а еще лучше вставить с повсюду, где это не­ обходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем двинуться дальше.

Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четы- рехмернбм.пространстве-времени все то, что мы делали с век­ торами в трех измерениях. Дело это нехитрое — мы просто будем действовать аналогично. Единственноезатруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трехмерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении.

Прежде всего, по аналогии с векторами в трехмерном про­ странстве, введем четырехвектор как набор четырех величин й[, а х, а у и а г, которые при переходе в движущуюся систему координат преобразуются подобно (, х, у и г. Для обозначе­ ния четырехвектора используется несколько различных спо­ собов. Мы же будем писать просто йд, понимая под этим группу четырех величин (at,.ax, ау, а2); другими словами, зна­ чок |х принимает какое-либо из четырех «значений»: t, х, у и 2 . Иногда нам будет удобно обозначать три пространствен­ ные компоненты в виде трехмерного вектора, т. е. писать

246

т. е. четырехвектор ри состоит из энергии Е и трех компонент трехмерного импульса частицы р.

Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой: единственное, что мы должны сделать,— это найти для каж­ дого трехмерного вектора недостающую компоненту и полу­ чить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с компонентами

Что будет его временной компонентой? Инстинкт подсказы­ вает нам, что поскольку четырехвектор подобен t, х, у, 2 , то временной компонентой как будто должно быть

Но это неверно. Дело в том, что время t в каждом знамена­ теле не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числи­ тель имеет правильное поведение, a dt в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах.

Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвек-

тора, если мы попросту поделим их на V 1— гЛ В правиль­ ности этого можно убедиться, взяв четырехвектор импульса

и поделив его на массу покоя, которая в четырехмерном про- странстве является скаляром. Мы получим при этом

что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что

четырехвектор скорости нц можно определить так:

_ 1 _ fу

Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например,

Р„=т0и11. (25.6)

Таков типичный вид, который должен иметь правильное реля» тивистское уравнение: каждая сторона его должна быть че*

247

тырехвектором. (В правой части стоит произведение инва­ рианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.)

§ 2. Скалярное произведение

То, что расстояние от некоторой точки до начала коорди­ нат не изменяется при повороте, если хотите, — счастливая случайность. Математически это означает, что г2= х2+ у2+ -f г2 является инвариантом. Другими словами, после пово­ рота г'2 = г2 или

х'2+ у'2-f z'2 = х2 -f- # 2 -f г2.

Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца? Да, существует. Из (25.1) вы видете, что

t'2- x ' 2= i2- x 2.

Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от на­ шего выбора оси х. Но этот недостаток легко исправить вы­ читанием у2и г2. Тогда преобразование Лоренца плюс враще­ ние оставляют ее неизменной. Таким образом, роль вели­ чины, аналогичной трехмерному г2 в четырехмерном прост­ ранстве, играет комбинация

/2 — х2— у2 —г2.

Она является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты.

Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преоб­ разования (25.1) плюс вращение, то она справедлива для лю­ бого четырехвектора. (Все они, по определению, преобра­ зуются одинаковым образом.) Так что для любого четырех­ вектора ад

а'2— а'2— а'2 — а' 2 = а2, — а2 — а2— а2.

t х у г t **х у г ш

Эту величину мы будем называть квадратом «длины» четы­ рехвектора Оц. (Будьте внимательны! Иногда берут обратные знаки у всех слагаемых и квадратом длины называют число

<$ + < $+<$-< $.)

Если теперь у нас есть два вектора awи 6 Й, то их одно­ именные компоненты преобразуются одинаково, поэтому комбинация

Ofbf — axbx — ауЬу агЬг

также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Факти­ чески мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась ве­ личина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведем

248

н и ем двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записы­ вать его ац*6 ц, чтобы оно даже вы гл я д ел о похож им на ска­ лярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не де­ лают и пишут его без точки. И мы тоже будем придержи­ ваться этого порядка и записывать скалярное произведение

просто а цЬц. Итак, по о п редел ен и ю

Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо р, мы иногда будем пользоваться v или другими бук­ вами), необходимо взять четыре произведения и сложить их,

не з а б ы в а я п ри этом о зн а к е м и нус перед произведениями

пространственных компонент. С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразова­ ниях Лоренца можно записать так

Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:

а цЬц — cLfbf — а • Ь.

Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как а^а^:

Но иногда удобно эту величину записать как а

°iis <W

Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р) получаются на больших ускорителях из реакции

Р + р-*/> + /? + Р + р.

Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок во­ дородной мишенью), и если падающий протон обладает до­ статочной энергией, то вдобавок к двум первоначальным про­ тонам может родиться пара протон — антипротон*.

* Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией

р + р -* р + р,

для которой, несомненно, требуется меньшая энергия? Все дело в прин­ ципе, называемом сохранением барионного заряда, согласно которому ве­ личина, равная числу протонов минус число антипротонов, не может из­ мениться. В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следо­ вательно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны со­ путствовать еще три протона (илЛ других барнона).

249

точна д л я протекания реакции . Протоны обозначены черны м и к р у ­ ж очкам и, а антипротоны— белы м и .

Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?

Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в си­ стеме центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1), Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через р“, Аналогично, протон мишени назовем Ь, а его четырехим­

пульс обозначим через р Если энергии падающего протона

как раз достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, со­ держащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кине­ тической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц.

Пусть — полный четырехимпульс всей системы в ко­

нечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и импульса,

Рв + Р6“ Рв

и

Еа + Еь = Ее,

а комбинируя эти два выражения, можно написать

250