Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

(с противоположной полярностью) в точке 5|. Но при двух стенках появится также изображение S0 в стенке Wi\ обозна­ чим его S2. Этот источник также будет обладать своим изо­ бражением в №,; обозначим его S3. Дальше, сами Si и S3 изо­ бразятся в 1^2 точками S4 и S6 и т. д. И для нашей пары пло­ ских проводников с источником посредине поле между про­ водниками совпадает с полем, генерируемым бесконечной цепочкой источников на расстоянии а друг от друга. (Это на самом деле как раз то, что вы увидите, посмотрев на провод, расположенный посредине между двумя параллельными зер­ калами.) Чтобы поля обращались в нуль на стенках, поляр­ ности токов в изображениях должны меняться от одного изо­ бражения к следующему. Иначе говоря, их фаза меняется

нает статические поля. В гл. 7, § 5 (вып. 5) мы рассматри­ вали статическое поле сетки линейных источников и нашли, что оно похоже на поле заряженной пластины, если не счи­ тать членов ряда, убывающих по мере удаления от сетки экспоненциально. У нас средняя сила источников равна нулю, потому что у каждой пары соседних источников знаки проти­ воположны. Любые поля, существующие здесь, должны с рас­ стоянием убывать экспоненциально. Вплотную к источнику мы в основном воспринимаем поле этого ближайшего источ­ ника; на больших расстояниях уже воздействует несколько источников, и их суммарное влияние дает нуль. Мы теперь понимаем, отчего волновод ниже граничной частоты дает экспоненциально убывающее поле. При низких частотах го­ дится статическое приближение, и оно предсказывает быстрое ослабление полей с расстоянием.

Теперь зато возникает противоположный вопрос: отчего же в таком случае волны вообще распространяются? Теперь уже это выглядит таинственно! А причина-то в том, что при вы­ соких частотах запаздывание полей может внести в фазу до­ бавочные изменения, которые могут привести к тому, что поля источников с противоположной фазой будут усиливать, а не гасить друг друга. В гл. 29 (вып. 3) мы уже изучали как раз для этой задачи поля, создаваемые системой антенн или оп­ тической решеткой. Тогда мы обнаружили, что соответствую­ щее расположение нескольких радиоантенн может привести к такой интерференционной картине, что в одном направле­ нии сигнал будет очень сильный, а в других сигналов вообще не будет.

Вернемся к фиг. 24.15 и посмотрим на поля на большом расстоянии от линии изображений источников. Поля будут велики лишь в некоторых направлениях, зависящих от

241

\нсйных источников.

\

запаздываний от двух соседних источников до гребня волны отвечала полупериоду колебания. Иными словами, разность между г2 и го на рисунке равна половине длины волны в пу­ ском пространстве:

г _ , _*о

Гг—г0— Y '

Имеется, конечно, и другая совокупность волн, бегущих вниз под симметричным углом по отношению к линии источ­ ников. А полное поле в волноводе (не слишком близко к ис­ точнику) является суперпозицией этих двух совокупностей волн (фиг. 24.17). Конечно, в действительности картина истин­ ных полей совпадает с изображенной лишь в пространстве между стенками волновода.

В таких точках, как И и С, гребни двух волновых картин совпадут, и у поля будет максимум; в точках же наподобие В пики обеих волн направлены в отрицательную сторону, и поле обладает минимумом (наименьшим отрицательным зна­ чением). С течением времени поле в волноводе будет дви­ гаться вдоль него. Длина волны будет равна Хе— расстоянию от А до С. Она связана с 0 формулой

*8

242

Ф и г. 24.17. Поле в волноводе можно рассматривать как на- ложекие двух верениц плоских волн.

что в точности совпадает с (24.19).

Теперь нам становится понятно, почему волны распростра­ няются только выше граничной частоты сооЕсли длина волн в пустом пространстве больше 2а, то не существует угла, под которым может появиться волна, показанная на фиг. 24.16. Необходимая для этого конструктивная интерференция воз­

А если частота достаточно высока, то может появиться два или больше возможных направления распространения волн.

В нашем случае это произойдет при А0<-|-а. Но вообще-то это

может происходить и при Ао < а. Эти добавочные волны от­ вечают высшим типам волн, о которых мы говорили.

После нашего анализа становится также ясно, отчего фа­ зовая скорость волн, бегущих, по трубе, превышает с и зави­ сит от со. Когда о меняется, меняется и угол на фиг. 24.16, под которым в пустом пространстве распространяются волны, а вместе с этим меняется и скорость вдоль трубы.

Хотя мы описали волны в волноводе .в виде суперпозиции полей бесконечной совокупности линейных источников, но можно убедиться в том, что тот же результат можно было бы получить, представив себе две совокупности волн в пустом пространстве, многократно отражаемых от двух идеальных зеркал вперед и назад, и вспоминая, что подобное отражение означает перемену знака фазы. Эти совокупности отражае­ мых волн гасили бы друг друга под всеми углами, кроме угла 0 [см. (24.33)]. Одну и ту же вещь можно рассматривать многими способами.

243

244

ния этой инвариантности относительно вращения является запись уравнений в векторном виде.

Там мы обнаружили, что если, скажем, взять два вектора А = (>4Х, Ay, Az) и Ъ = {ВХ, By, Вг\

то комбинация

А • В = АХВХ4- АуВу + АгВг

при повороте системы координат не меняется. Таким образом, если с обеих сторон уравнения мы видим скалярное произве­ дение, подобное А-В, то уравнение будет иметь в точности ту же форму в любой повернутой системе координат. Кроме того, мы открыли оператор (см. гл. 2 )

д

ду •

который, будучи применен к скалярной функции, дает три ве­ личины, преобразующиеся в точности как вектор. С помощью этого оператора был определен градиент, а в комбинации с другими векторами —дивергенция и лапласиан. И, наконец, мы обнаружили, что, составляя суммы некоторых попарных произведений компонент двух векторов, можно получить три величины, которые ведут себя подобно новому вектору. Мы назвали это векторным произведением двух векторов. Исполь­ зуя затем векторное произведение с оператором V, мы опре­ делили ротор вектора. В дальнейшем нам часто придется ссы­ латься на то, что было нами сделано в векторном анализе, поэтому все важнейшие векторные операции в трехмерном пространстве, которые использовались в прошлом, мы со­ брали в табл. 25.1.

Таблица 25.1 • ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ОПЕРАТОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение фи­ зики, что обе его части преобразуются при вращениях одина­ ковым образом. Если одна его часть — вектор, то вектором должна быть и другая часть, и обе они при вращении системы координат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая

245