Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Немного больше работы с х-компонентои. Производная от <р более сложна, да н Ах не равна нулю. Давайте сначала вы­ числим —дф/Дс:

Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его z-компоненты мы имеем

Но, поскольку Ау равна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что Ах просто равна иф, а производная (d/dy)vф равна —vEy. Так что

Наконец, компонента Вх равна нулю, поскольку равны нулю н Ау и Аг. Таким образом, магнитное поле можно записать в виде

Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попы­ таемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происходит из запаздывающего положения, по, по­ скольку мы имеем дело со строго заданным движением, за­ паздывающее положение однозначно определяется положе­ нием в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с текущими координатами, ибо компо­ ненты поля в точке х, у, г зависят только от (x — vi), у и z,

266

У

Фи г . 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с по­ стоянной скоростью, напра­ влено по радиусу от истин­ ного положения заряда.

Истинное

положение

которые являются компонентами вектора перемещения гР из постоянного положения заряда в точку (x,y,z) (фиг. 26.3).

Рассмотрим сначала точки, для которых 2 = 0 . Поле Е в этих точках имеет только х- и {/-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отношению х- и {/-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением гР, как это показано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку Ez пропор­ ционально 2 . Короче говоря, электрическое поле заряда ра­ диально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия до­ полнительного фактора ( 1 — о2) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишите закон Кулона в особой системе координат, «сжатой» вдоль

оси х множителем V l — о8. Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгу­ стятся (фиг. 26.4).

Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впе­ реди и позади заряда ослабевает, но зато по бокам стано­ вится сильнее, т. е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы измеряете напряженность поля под прямыми уг­

Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квад­ рату расстояния, но еще усиливается постоянным множите-

267

лем I / V 1 — еД который всегда больше единицы. Таким обра« зом, по бокам движущегося заряда электрическое поле силь­ нее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличе­ ние по сравнению с кулоновым потенциалом равно отноше­ нию энергии частицы к ее массе покоя.

Впереди заряда (или позади него) у и z равны нулю, а поэтому

Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно эарезается множителем (1 — о2), что согла­ суется с картиной силовых линий. Если vie мало, то о2/с2 еще меньше, и действие (1 — о2) почти незаметно, поэтому мы снова возвращаемся к закону Кулона. Но если частица движется со скоростью, близкой к скорости света, то поле пе­ ред частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает.

Наш результат, относящийся к электрическому полю за­ ряда, можно представить и так. Предположим, что вы на клочке бумаги нарисовали силовые линии покоящегося за­ ряда, а затем эту картину запустили со скоростью v2.

Тогда благодаря лоренцеву сокращению рисунок со­ жмется, т. е. частички гра­ фита на бумаге будут ка­ заться нам расположенными в других местах. Но чудо состоит в том, что в резуль­ тате на пролетающем мимо листочке вы увидите точную картину силовых линий то­ чечного движущегося заря­ да. Лоренцево сокращение сблизит их по бокам, раз­ двинет перед зарядом и по­ зади него как раз настоль­ ко, чтобы получить нужную

Ф и г. 26.4. Электрическое поле заряда.

а —неподвижного, б —летящего с по­ стоянной скоростью 11=0,9 с.

268

плотность. Мы уже отмечали, что силовые линии —это не реальность, а лишь способ представить себе электрическое поле. Однако здесь они ведут себя как самые настоящие реальные линии. В этом частном случае, если вы и сде­ лали ошибку, рассматривая силовые линии как нечто реаль­ ное и преобразуя их как реальные линии в пространстве, поле в результате все равно получилось бы правильным. Однако от этого силовые линии не станут более реальными. Вспомните об электрическом поле, создаваемом зарядом вместе с маг­ нитом; когда магнит движется, он создает новое электриче­ ское поле и разрушает всю нашу прекрасную картину. Так что простая идея сокращающейся картинки, вообще говоря, не годится. Но все же это очень удобный способ запомнить, как выглядит поле быстро движущегося заряда.

Магнитное поле [из уравнения (26.9)] равно vX E . Когда вы векторно помножите скорость на радиальное поле Е, то получите поле В, силовые линии которого представляют окружности вокруг линии движения (фиг. 26.5). Если же те­ перь мы подставим обратно все с, то вы убедитесь, что ре­ зультат получился тот же, что и для медленно движущихся зарядов. Хороший способ установить, куда должны войти с, — это вспомнить формулу для силы:

F = <7 (Е + v X В).

Вы видите, что произведение скорости на магнитное поле имеет ту же размерность, что и электрическое поле, так что в правой части (26.9) должен стоять множитель 1/с2, т. е.

В— (26.12)

Для медленно движущегося заряда (v < с) поле можно счи­ тать кулоновым, и тогда

Эта формула в точности соответствует магнитному полю тока, которое было найдено в гл. 14 (вып. 5).

Попутно мне хотелось бы отметить кое-что весьма инте­ ресное просто для того, чтобы вы об этом подумали. (К об*

Ф и г . 26.5. Магнитное поле вблизи движущегося заряда равно vXE (ср. с фиг, 26.4).

26S

суждению этого мы еще вернемся, но несколько позже.) Представьте себе два электрона, скорости которых перпенди­ кулярны, так что пути их пересекаются, однако электроны не сталкиваются; один из них успевает проскочить перед дру­ гим. В какой-то момент их относительное положение будет таким, как изображено на фиг. 26.6, а. Рассмотрим теперь силы, с которыми <72 действует на q\, и наоборот. На <72 со стороны q\ действует только электрическая сила, ибо q\ на линии своего движения не создает магнитного поля. Однако на <7ь кроме электрического поля, действует еще и магнит­ ное, так что он движется и в магнитном поле, создаваемом зарядом <72. Все эти силы показаны на фиг. 26.6,6. Электри­ ческие силы, действующие на q\ и ?2> равны по величине и противоположны по направлению. Однако на qi еще дей­ ствует и боковая (магнитная) сила, которой и в помине нет у <72. Равно ли здесь действие противодействию? Поломайте голову над этим вопросом.

§ 3. Релятивистское преобразование полей

В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и магнитное поля, исходя из трансформационных свойств по­ тенциалов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важнее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся си­ стеме, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже из­ вестны. Мы имеем законы преобразования для <р и А, по­ скольку Лц представляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно пер­ вой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно,

270