Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Теперь преобразуем компоненты (?ду. Начнем с Gtx:

<Ъ-«И-«-(-Эр Ю(:5Й0-

Но ведь это просто Gtx. Таким образом, мы получили простой результат

А теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести чле­ нов; только теперь мы будем все писать для величин FцУ:

и В преобразование, записанное для ЕиУ. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выгля­ дит в обычных символах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2.

Уравнения в этой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к дру­ гой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью о.

276

(Помните: с = 1)

Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость v направлена по оси х, то все компоненты с v представляют собой векторные произведения v X E и vXB . Так что пре­ образования можно записать в виде табл. 26.3.

Таблица 26.3 • ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Теперь легко запомнить, какая компонента куда идет. Фактически эти преобразования можно записать даже еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х, т. е. «параллельные» компоненты £ц и Вц (которые парал­

векторную сумму у- и г-компонент. В результате мы получим уравнения, сведенные в табл. 26.4. (Для полноты мы восста­ новили все с.)

Преобразования поля позволяют по-другому решить за­ дачи, которыми мы занимались прежде, например найти поле движущегося точечного заряда. Раньше мы вычисляли поля, дифференцируя потенциалы. Но теперь то же самое можно сделать, преобразуя кулоново поле. Если у нас в системе S

277

Фи г . 26.7. Система коор­ динат S ' движется в стати­ ческом электрическом поле.

находится покоящийся заряд, то он создает только простое радиальное поле Е. В системе S', движущейся относительно системы S со скоростью v = —и, точечный заряд будет ка­ заться нам летящим со скоростью и. Покажите сами, что пре­ образования табл. 26.3 и 26.4 дают те же самые электриче* ские и магнитные поля, которые мы получили в § 2 .

мимо любой системы фиксированных зарядов? Пусть нам хо­ чется узнать поля в нашей системе S', если мы движемся между пластинами конденсатора вдоль него, как показано на фиг. 26.7. (Но, разумеется, все равно, если бы заряженный конденсатор двигался мимо нас.) Что же мы увидим? Преобра­ зования в этом случае облегчаются тем, что в первоначаль­ ной системе поле В отсутствует. Предположим сначала, что наше движение перпендикулярно к направлению Е, при этом

мы увидим поле Е' = Е / У 1 — v2/c2, которое остается пол­ ностью поперечным. Но мы уже увидим и магнитное поле

тоже можно делать.) Итак, когда мы движемся в направле­ нии, перпендикулярном к статическому полю, то видим из­ мененное Е и вдобавок еще поперечное поле В. Если наше движение не перпендикулярно вектору Е, то мы разбиваем Е на Е| и Ех. Параллельная часть остается неизменной, EJ == Е||, а что происходит с перпендикулярной компонентой, мы уже описали.

278

Давайте разберем противоположный случай и вообразим, что мы движемся через чисто статическое магнитное поле. На этот раз мы бы увидели электрическое поле Е', равное

vXB', и магнитное поле, усиленное множителем l/-\/l —о2/с2 (предполагая, что оно поперечное). До тех пор, пока v много меньше с, изменением магнитного поля можно пренебречь,

иосновным эффектом будет появление электрического поля.

Вкачестве примера этого эффекта рассмотрим некогда зна­ менитую проблему определения скорости самолета. Сейчас она уже больше не знаменита, поскольку для определения скорости можно использовать отражение от Земли сигналов радиолокатора. Но раньше в плохую погоду скорость само­ лета было очень трудно определить. Ведь вы не видите Землю и не можете сказать, куда вы летите. А знать, на­ сколько быстро вы движитесь относительно Земли, было важно. Как же это можно сделать, не видя ее? Те, кому были знакомы уравнения преобразования, считали, что нужно ис­ пользовать тот факт, что самолет движется в магнитном поле Земли. Предположим, что самолет летит там, где магнитное поле нам более или менее известно. Возьмем простейший случай, когда магнитное поле вертикально. Если мы летим через него с горизонтальной скоростью v, то в соответствии

Если поперек самолета подвесить изолированный провод, то электрическое поле на его концах будет индуцировать за­ ряды. Но в этом ничего нового нет. С точки зрения наблюда­ теля на Земле, мы просто передвигаем провод в магнитном поле, а сила ?(vXB) заставляет заряд двигаться к концу провода. Уравнения преобразования говорят то же самое, но другими словами. (То, что одну и ту же вещь можно полу­ чить не одним, а несколькими способами, вовсе не означает, что один способ лучше другого. Мы овладели столькими ме­ тодами и приемами, что один и тот же результат можем полу­ чать какими хотите способами!)

Итак, единственное, что мы должны сделать для опреде­ ления скорости V, — это измерить напряжение между кон­ цами провода. Хотя для этой цели мы не можем воспользо­ ваться вольтметром, ибо то же самое поле будет действовать и на провода внутри вольтметра, способы измерения таких полей все же существуют. О некоторых из них мы уже гово­ рили в гл. 9 (вып. 5), когда рассказывали об атмосферном электричестве. Так что измерить скорость самолета, казалось бы, можно.

Однако эта важная проблема не была решена таким ме­ тодом. Дело в том, что величина электрического поля, кото­ рое при этом развивается, — порядка нескольких милливольт

279

на метр. Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других элек­ трических полей. Поля, создаваемые движением через маг­ нитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возни­ кающих в воздухе по каким-то другим причинам (скажем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/м, но они совершенно нерегулярные. Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огромны по сравнению со сла­ бенькими полями, возникающими из-за множителя v X B . Ввиду этих чисто практических причин измерить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно.

§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях*

Полученные из уравнений Максвелла электрические и маг­ нитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они спо­ собны. Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахожде­ ния действующих на заряды сил и что именно эти силы опре­ деляют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разумеется, тоже есть часть электродинамики.

Ка отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, дейст­ вует сила

При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp/dt. Подставляя

p = /M0v /V l — v2!c2, находим релятивистское уравнение дви­ жения заряда:

Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения теории относительности. Поскольку уравнения Максвелла за­ писаны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движе­ ния. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четырехмерных обозначениях.

Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора рц с энергией m0/ V l — и2/с2 в качестве временной компо­

* В этом параграфе мы не будем принимать с за единицу.

280