Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

писывается в виде

(27.1)

Как следствие этого закона полный заряд всего мира остается постоянным. Заряды никогда не рождались и не уничтожа­ лись; в мире как делом нет никакой чистой прибыли зарядов, как нет и никаких потерь. Однако полный заряд мира можно сделать постоянным и другим способом. Пусть вблизи точки

(/) находится заряд Qi, а вблизи точки (2 ), расположенной от нее на некотором расстоянии, никакого заряда нет (фиг. 27.1). Предположим теперь, что с течением времени за­ ряд Qi постепенно исчезает, но что одновременно с уменьше­ нием Qi вблизи точки (2) появляется заряд Q2, причем так, что в любой момент сумма Qi и Qi остается постоянной. Дру­ гими словами, в любой промежуточный момент количество заряда, теряемое Qi, прибавляется к ФгПри этом в мире полное количество заряда сохраняется. Хотя это тоже «все­ мирное» сохранение заряда, мы не будем его называть «ло­ кальным» сохранением, ибо для того, чтобы заряд перебрался из точки (/) в точку (2 ), ему не обязательно появляться гдето в пространстве между этими точками. Локально заряд просто «теряется».

Однако такой «всемирный» закон сохранения встречает в теории относительности большие трудности. Понятие «одно­ временно» для точек, разделенных расстоянием, неэквива­ лентно для разных систем. Два события, происходящие одно­ временно в одной системе, не будут одновременными в системе, движущейся относительно нее. Для «всемирного» сохранения только что описанного типа требуется только одно — чтобы заряд, теряемый Qi, одновременно появлялся в Qi. В против­ ном случае будут такие моменты, когда заряд не сохраняется. По-видимому, способа сделать закон сохранения заряда реля-

a: Qi+ Qa постоянно.

dCh

dt 4

6

286

тивистски инвариантным, не делая его «локальным», не суще­ ствует. Суть в том, что требование лорендевой инвариантно­ сти, как оказывается, удивительнейшим образом ограничивает возможные законы природы. В современной квантовой теории поля, например, теоретики часто пытаются изменить теорию, допустив то, что мы называем «нелокальным» взаимодейст­ вием, когда нечто, находящееся здесь, непосредственно влияет на нечто, находящееся там, но мы всегда наталкиваемся на трудности, связанные с принципами относительности.

«Локальные» же законы сохранения основаны на другой идее. Они утверждают, что заряд может перейти из одного места в другое только при том условии, что нечто такое про­ исходит в пространстве между ними. Чтобы описать такой закон, нам нужна не только плотность заряда р, но и величина другого сорта, именно вектор j, задающий скорость потока заряда через поверхность. При этом поток связан со скоро­ стью изменения заряда уравнением (27.1). Это более сильная формулировка закона сохранения. Она говорит, что заряд сохраняется особым образом, сохраняется «локально».

Сохранение энергии, оказывается, тоже локальный про­ цесс. В мире существует не только плотность энергии в дан­ ной области, но и вектор, представляющий скорость потока энергии через поверхность. Например, когда источник излу­ чает свет, мы можем найти энергию света, излучаемого им. Если мы вообразим некую математическую поверхность, окружающую источник света, то потеря энергии этого источника равна потоку энергии через окружающую его поверхность.

§ 2. Сохранение энергии и электромагнитное поле

Нам надо теперь описать сохранение энергии в электро­ магнитном поле количественно. Для этого нужно выяснить, сколько энергии находится в единице объема, а также ка­ кова скорость ее потока. Рассмотрим сначала энергию только электромагнитного поля. Пусть и обозначает плотность энер­ гии поля, т. е. количество энергии в единице объема простран­ ства, а вектор S — поток энергии поля (т. е. количество энер­ гии, прошедшее в единицу времени через единичную поверх­ ность, перпендикулярную к потоку). Тогда, аналогично сохра­ нению заряда (27.1), можно написать «локальный» закон сохранения энергии поля в виде

Конечно, этот закон, вообще говоря, не верен; энергия поля не сохраняется. Представьте, что вы находитесь в тем­ ной комнате, а затем поворачиваете выключатель. Комната

287

внезапно наполняется светом, т. е. в ней оказывается энергия поля, которой раньше не было. Уравнение (27.2) не состав­ ляет полного закона сохранения, ибо энергия одного только поля не сохраняется, а существует еще энергия вещества; сохраняется лишь полная энергия во всем мире. Энергия поля будет изменяться, если оно производит работу над веществом или вещество производит работу над полем.

Однако если внутри интересующего нас объема находится вещество, то мы знаем, сколько энергии оно несет в себе:

энергия каждой частицы равна m0c2/V l “ v2/c~. Полная же энергия вещества равна просто сумме энергий всех частиц, а поток ее через поверхность равен просто сумме энергий, пере­ носимых каждой частицей, пересекающей эту поверхность. Но сейчас мы будем иметь дело только с энергией электромаг­ нитного поля. Так что мы должны написать уравнение, кото­ рое говорит, что полная энергия поля в данном объеме умень­ шается либо в результате вытекания ее из объема, либо потому, что поле передает свою энергию веществу (или при­ обретает ее, что означает просто отрицательную потерю). Энергия поля в объеме V равна

\u d V .

V

а скорость ее уменьшения равна производной этого интеграла по времени со знаком минус. Поток энергии поля из объема V равен интегралу от нормальной компоненты S по поверх­ ности 2, ограничивающей объем V:

$(S-n )da.

2

Таким образом,

— J и dV — J (S • n) da + (Работа, затраченная

Раньше мы видели, что над каждой единицей объема ве­ щества поле в единицу времени производит работу Е-j. [Сила,

288

Вот как выглядит наш закон сохранения энергии в поле. Его можно записать как дифференциальное уравнение, подоб­ ное (27.2); для этого второе слагаемое нужно превратить в интеграл по объему, что легко делается с помошыо теоремы Гаусса. Поверхностный интеграл от нормальной компоненты S равен интегралу от дивергенции S по объему, ограничен­ ному этой поверхностью, так что уравнение (27.3) эквива­ лентно следующему:

где производную по времени от первого слагаемого мы вне­ сли под интеграл. Поскольку это уравнение верно для любого объема, то интегралы можно отбросить и получить уравнение для энергии электромагнитного поля:

Однако это уравнение не даст нам ничего хорошего, пока мы не узнаем, что такое и и S. Быть может, мне следовало бы просто сказать вам, как они выражаются через Е и В, по­ скольку это единственное, что нам, собственно, нужно. Од­ нако мне очень хочется изложить вам все те рассуждения, которыми в 1884 г. воспользовался Пойнтинг, чтобы получить формулы для S и и, с тем чтобы вы понимали, откуда они взялись. (Для дальнейшей работы, впрочем, вам этот вывод не потребуется.)

§3. Плотность энергии и поток энергии

вэлектромагнитном поле

Идея заключается в том, что должны существовать плот­ ность энергии и и поток S, которые зависят только от полей Е и В. [В электростатике, например, плотность энергии, как мы знаем, можно записать в виде '/2Бо(Е«Е).] Разумеется, и и S могут зависеть от потенциалов и чего-то другого, но давайте лучше посмотрим, что мы можем написать. Попы­ таемся переписать величину E-j в таком виде, чтобы она стала суммой двух слагаемых, одно из которых было бы про­ изводной по времени от некоторой величины, а второе —ди­ вергенцией. Тогда первую величину мы бы назвали и, а вто­ рую— S (разумеется, с надлежащими знаками). Обе вели­ чины должны быть выражены только через поля, т. е. мы хотим записать наше равенство в виде

239

причем левая часть уравнения должна выражаться только че­ рез поля. Как это сделать? Разумеется, нужно воспользо­ ваться уравнениями Максвелла. Из уравнения для ротора В имеем

j = е0с2 (V X В) — .

Подставляя это в (27.6), получаем выражение его только че­ рез Е и В:

Работа частично нами уже закончена. Последнее слагаемое есть производная по времени —это (<?/<?/) ('/геоЕ-Е).

Итак, ’/гбоЕ-Е должно быть по крайней мере частью и. Такое же выражение получалось у нас и в электростатике.

вы знаете из векторной алгебры, что (аХЬ) *с равно а - (ЬХс). поэтому первое слагаемое принимает вид

т. е. получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стремились. Получилась, но только все это неверно! Я преду­ преждал вас, что оператор V только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в диф­ ференциальном исчислении существует дополнительное согла­ шение: когда оператор производной стоит перед произведе­ нием, он действует на все стоящее правее него. В уравнении (27.7) оператор V действует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записали его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение говорило бы, что V действует как на В, так и на Е. Так что это не одно и то же. В самом деле, если расписать V-(BXE) по компонентам, то можно убе­ диться, что оно равно E - (VXB) плюс какие-то другие сла­ гаемые. Это напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например,

d x и ё ' д х ® т 1 dHrx •

Вместо того чтобы выписать все компоненты V*(BXE), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в задачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содержащих оператор V, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании

290