Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Ф и г , 23,5, Электрическое поле между обкладками конденса­ тора на высоких частотах,

Краевыми эффектами пренебрегли.

диусу. Контурный интеграл от Е{ вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл даёт вклад только £ 2, и ин­ теграл равен просто — £ 2 (г)Л, где h —зазор между обклад­ ками. (Мы считаем £ положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который по­ лучится, если вычислить интеграл по заштрихованной пло­ щади S внутри Г2 (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток

Л J В (г) dr.

Полагая —d/dt от потока равным контурному интегралу от £ 2, получаем

Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для В (г) формулу (23.5), получаем

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель ш:

Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле £ = £| + £ 2 тогда равно

Электрическое поле в конденсаторе больше уже не одно­ родно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.

206

Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и уз­ нать, как ток через конденсатор зависит от частоты ш. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует дру­ гое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что произойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приб­ лижении. Обозначим его Ви а (23.5) перепишем в виде

Вспомните, что это поле появилось от изменения Е\. А пра­ вильное магнитное поле будет создаваться изменением сум­ марного электрического поля EI + E2. Если магнитное поле представить в виде В = В\-\- В2, то второе слагаемое —это просто добавочное поле, создаваемое полем Ei. Чтобы узнать В2, надо повторить все те же рассуждения, которые приводи­ лись, когда подсчитывали Bt: контурный интеграл от В2 вдоль кривой Г, равен скорости изменения потока Е2 через Г|. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В2, а Е —на Е2:

с2В2 • 2лг —-jj- (поток Е2 через Г,).

Поскольку Е2 с радиусом меняется, то для получения его по: тока надо интегрировать по круговой поверхности внутри IV Беря в качестве элемента площади 2nrdr, напишем этот ин­ теграл в виде

Г

^ Ег (г ) • 2 пг dr.

о

Значит, В2(г) выразится так:

Подставляя сюда Е2(г) из (23.7), получаем интеграл от r3dr, который равен, очевидно, г*/4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной

Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчи­

207

тывали Ez. Надо найти еще поправку к £, вызываемую доба­ вочным магнитным полем В2. Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем £ 3. Она связана с магнитным полем В2 так же, как Е2 была связана с Вь Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:

Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем но­ вую поправку к электрическому полю:

Если теперь наше дважды исправленное, поле записать в виде Е = Ei + Е2+ £ з. то мы получим

Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значение поля лежит чуть выше кривой (Bi+Вг).

Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново подправленное магнитное поле вызовет необходимость даль­ нейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы. Для В3 можно использовать (23.10), изменив индексы при В и £ с 2 до 3.

Очередная поправка к электрическому полю равна

С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой

(23.15)

где численные коэффициенты написаны в таком виде, что становится ясно, как продолжить ряд.

Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произве­ дением Е0еш на бесконечный ряд, который содержит только переменную ©г/с. Можно, если мы захотим, определить спе­ циальную функцию, обозначив ее через /о(*), как бесконеч­ ный ряд в скобках формулы (23.15):

208

Тогда искомое решение есть произведение Е0еш на эту функ­

Мы обозначили нашу специальную функцию через /0 по­ тому, что, естественно, не мы первые с вами занялись зада­ чей колебаний в цилиндре. Функция эта появилась давнымдавно, и ее уже привыкли обозначать /0. Она всегда возни­ кает, когда вы решаете задачу о волнах, обладающих ци­ линдрической симметрией. Функция /0 по отношению к ци­ линдрическим волнам —это то же, что косинус по отношению к прямолинейным волнам. Итак, это очень важная функция. И изобретена она очень давно. Затем с нею связал свое имя математик Бессель. Бессель изобрел целую кучу таких функ­ ций, и индекс нуль означает, что наша —самая первая из них.

Другие функции Бесселя —/*, /2 и т. д. —относятся к ци­ линдрическим волнам, сила которых меняется при обходе вокруг оси цилиндра.

Полностью скорректированное электрическое поле между обкладками нашего кругового конденсатора, даваемое фор­ мулой (23.17), изображено на фиг. 23.5 сплошной линией. Для не очень больших частот нашего второго приближения вполне хватает. Третье приближение было бы еще лучше — настолько хорошо, что если его начертить, то вы бы не заме­ тили разницы между ним и сплошной линией. В следующем параграфе вы увидите, однако, что может понадобиться и весь ряд, чтобы получилось аккуратное описание поля на больших радиусах или на высоких частотах.

§ 3. Резонансная полость

Посмотрим теперь, что даст наше решение для электриче­ ского поля между обкладками конденсатора, если продол­ жать увеличивать частоту все выше и выше. При больших ю параметр х = аг/с тоже становится большим, и первые не­ сколько слагаемых ряда для /о от х быстро возрастают. Это означает, что парабола, которую мы начертили на фиг. 23.5, на больших частотах изгибается книзу круче.

В самом деле, она выглядит так, как будто поле на высо­ кой частоте все время старается обратиться в нуль где-то при с/со, примерно равном половине а. Давайте посмотрим, дей­ ствительно ли функция /о проходит через нуль и становится отрицательной. Сперва испытаем х = 2:

Л,(2) = 1 ~ 1 + 7 - ^ = 0,22.

209