Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

ф и г . 22.21. Нахождение фактора распространения лестницы.

Токи /„ и напряжения Vn мы определим так, как показано на фиг. 22.21, а.

Напряжение Kn+i можно получить из. Vn, если вспомнить, что остаток лестницы (за п-м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом z0; и тогда достаточно про­ анализировать только схему фиг. 22.21,6. Мы прежде всего замечаем, что каждое К„, поскольку это напряжение на за­ жимах сопротивления z0, должно быть равно / пг0. Кроме того, разность между V„ и Kn+i равна просто Inzx:

V n - V n + ^ J n Z ^ V n f .

Получается отношение

которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его а. Для всех звеньев

Теперь ничего не стоит найти напряжение за 754-м звеном; оно просто равно произведению <§ на 754-ю степень а.

Как выглядит а для лестницы L—С на фиг. 22.20, а? Взяв

Если частота на входе ниже граничной частоты щ = V 4/LC, то корень — число действительное, и модули комплексных чи­ сел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение

апо модулю равно единице; можно написать

а=

аэто означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза. Она меняется на

191

число 6; оно на самом деле отрицательно и представляет собой «задержку» напряжения по мере того, как последнее проходит по сети.

Адля частот выше граничной частоты щ лучше вынести

вчислителе и знаменателе (22.31) множитель i и переписать

это выражение в виде

притом меныиее единицы. Это означает, что напряжение в не­ котором звене всегда меньше напряжения в предыдущем зве­ не; множитель пропорциональности равен а. При частотах выше CDOнапряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кривая модуля а как функции частоты похожа на гра* фик, приведенный на фиг. 22.22.

Мы видим, что поведение а как выше, так и ниже о)о со­ гласуется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при о < о)0 и задерживает ее при <о > сооГоворят, что сеть «пропускает» низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровывает» высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характеристики менялись указанным образом, назы­ вается «фильтром». Мы проанализировали «фильтр низкого пропускания», или «низких частот».

Вас может удивить— к чему все это обсуждение беско­ нечных сетей, если на самом деле они невозможны? Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если заключите ее импедансом, совпадающим с характеристическим импедансом Zo. Практи­ чески, конечно, невозможно точно воспроизвести характери­ стический импеданс несколькими простыми элементами, та­ кими, как R, L и С. Но в некоторой полосе частот нередко этого можно добиться в хорошем приближении. Этим спосо­ бом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойст­ вами, очень близкими к тем, которые проявляются в беско­ нечном фильтре. Скажем, лестница L—С будет во многом

Ф и г . 22.22. Фактор распростри- нения одного звена лестницы.

192

1/ф (б).

вести себя так, как было описано, если на конце ее помещено чистое српротивление R = п/ЦС.

А если в нашей лестнице L—С мы поменяем местами L и С, чтобы получилась лестница, показанная на фиг. 22.23, а, то получится фильтр, который пропускает высокие частоты и отбрасываетнизкие. Пользуясь уже полученными результа­ тами, легко понять, что происходит в этой сети. Вы уже, на­ верно, заметили, что всегда, когда L заменяется на С и наобо­ рот, то и i© заменяется на !/('© и наоборот. Значит, все, что происходило раньше с ©, теперь будет происходить с 1/©. В частности, можно узнать, как меняется а с частотой, взяв фиг. 22.22 и повсюду вместо © написав 1/© (фиг. 22.23,б).

У описанных фильтров высоких и низких частот есть мно­ гочисленные технические приложения. Фильтр L—C низких частот часто используется как «сглаживающий» фильтр в це­ пях постоянного тока. Если нам нужно получить постоянный ток от источника переменного тока, мы включаем выпрями­ тель, который позволяет течь току только в одну сторону. Из выпрямителя выходит пульсирующий ток, график которого выглядит как функция к(/), показанная на фиг. 22.24. По­ стоянство такого тока — никудышное: он шатается вверх и вниз, а нам нужен постоянный ток, чистенький, гладенький,

193

как от батареи аккумуляторов. Этого можно добиться, вклю­ чив фильтр низких частот между выпрямителем и нагрузкой.

Из гл. 50 (вып. 4) мы уже знаем, что временная функция на фиг. 22.24 может быть представлена в виде наложения по­ стоянного напряжения на синусную волну плюс синусную волну большей частоты плюс еще более высокочастотную си­ нусоиду и т. д., т. е. как ряд Фурье. Если наш фильтр — ли­ нейный (т. е. если, как мы предполагали, L и С при изменении токов или напряжений не меняются), то то, что выходит из фильтра, представляет собой тоже наложение выходов от каждой компоненты на входе. Если устроить так, чтобы гра­ ничная частота шо нашего фильтра была значительно ниже наинизшей из частот функции V(t), то постоянный ток (у ко­ торого о = 0) прекрасно пройдет через фильтр, а амплитуда первой гармоники будет крепко срезана; ну, а амплитуды высших гармоник —тем более. Значит, на выходе можно по­ лучить какую угодно гладкость, смотря по тому, на сколько звеньев фильтра у вас хватит денег.

Высокочастотный фильтр нужен тогда, когда необходимо срезать некоторые низкие частоты. Например, в граммофон­ ном усилителе высокочастотный фильтр можно использовать, чтобы музыка не искажалась: он задержит низкочастотное громыхание моторчика и диска.

>Можно еще делать и «полосовые» фильтры, отбрасываю­ щие частоты ниже некоторой частоты о» и частоты выше не­ которой другой частоты ш2 (большей <BI), но зато пропускаю­ щие все частоты от cot до <о2. Это можно сделать просто, сов­ местив высокочастотный и низкочастотный фильтры, но обычно делают лестничную схему, в которой импедансы Z\ и z2 имеют более сложный вид —они сами суть комбинации L и С. У такого полосового фильтра постоянная распростра­ нения может выглядеть так, как на фиг. 22.25, а. Его можно использовать, скажем, чтобы отделять сигналы, которые за-

Ф и г . 22.25. Полосовой фильтр (о) и простой резонанс­ ный фильтр (б).

194

нимают только некоторый интервал частот, например, каждый из каналов телефонной связи в высокочастотном телефонном кабеле или модулированную несущую частоту при радиопе­ редаче.

В гл. 25 (вып. 2) мы видели, что такое фильтрование можно производить еще, используя избирательность обыч­ ной резонансной кривой (для сравнения она приведена на фиг. 22.25,6). Но резонансный фильтр для некоторых целей подходит хуже, чем полосовой. Вы помните (это было в гл. 48, вып. 4), когда несущая частота ©с модулирована «сигналь­ ной» частотой ©5, то общий сигнал содержит не только несу­ щую, но и две боковые частоты ae-|-(i)4 и ©с — ш*. В резонанс­ ном фильтре эти боковые полосы всегда как-то ослабляются, и чем выше сигнальная частота, тем, как видно из рисунка, больше это ослабление. Поэтому «отклик на частоту» здесь неважный. Высшие музыкальные тоны и вовсе не проходят. Но если взять полосовой фильтр, устроенный так, что ши­ рина со2 — ©1 по крайней мере вдвое больше наивысшей сиг­ нальной частоты, то отклик на частоту будет для интересую­ щих нас сигналов плоским.

Еще одно замечание о лестничном фильтре: лестница L—С на фиг. 22.20 —это также приближенное представление передающей линии (фидера). Если имеется длинный провод­ ник, расположенный параллельно другому проводнику (ска­ жем, провод, помещенный в коаксиальном кабеле или подве­ шенный над землей), то между ними существует какая-то ем­ кость и некоторая индуктивность (из-за магнитного поля между ними). Если представить эту линию составленной из небольших участков А1, то каждый участок похож на одно звено лестницы L—С с последовательной индуктивностью ДL и шунтирующей емкостью АС. Поэтому мы вправе применять здесь наши результаты для лестничного фильтра. Перейдя к пределу при Д/->0, мы получим хорошее описание передаю­ щей линии. Заметьте, что, когда А/ становится все меньше и меньше, уменьшаются и AL и АС, но они уменьшаются в одной и той же пропорции, так что отношение AL/AC не па­ дает. Поэтому, перейдя в уравнении (22.28) к пределу при AL и АС, стремящихся к нулю, мы увидим, что характери­ стический импеданс го— это чистое сопротивление, величина

которого равна ’у/AL/AC. Отношение ALiАС можно записать также в виде LQ/C0, где L0 и С0— индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда

195