Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Фи г . 22.17. Любой импеданс эк­ вивалентен последовательному сое­ динению чистого сопротивления и чистого реактанса.

iX

лентных схем можно сказать, что всякий импеданс эквива­ лентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мнимым импедансом, называемым реактансом (фиг. 22.17).

Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и С, обладает импедансом, выражаемым чисто мни­ мым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, потерь энергии не бывает. Можно по­ казать, что это должно быть верно для всякого реактанса.

Если генератор с э. д. с. <§ подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его э. д. с. должна быть связана с током

Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение 81. Но теперь следует быть осторожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами 8(i) и 1(1). (Действительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравне­ ния линейны, сейчас же речь идет о произведении, а это, не­ сомненно, вещь нелинейная.)

Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда 7 ока­ залась действительным числом, скажем /0; тогда истинное изменение I во времени дается формулой

/ = / 0COS<Df.

186

Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряже­ ний на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напря­ жения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как

падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.

Средняя скорость потерь энергии {Р)ср, текущей от гене­ ратора, есть интеграл от произведения в ! за один цикл, де­

Первый интеграл равен lj2llR, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе г = R -J- iX зависит

лишь от действительной части z и равна /оЛ/2 . Это согла­ суется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопро­ тивлении. В реактивной части потерь энергии не бывает.

§6. Лестничная сеть

Атеперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные со­ четания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу

можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импеданса на правом конце можно заме­ нить одним Z3 = zi-\-z2 (см. фиг. 22.18,в). Тогда два импе­ данса 2 г и 2 з можно заменить их эквивалентным параллель­ ным импедансом Z\ (фиг. 22.18,г). И наконец, z\ и эквива­ лентны одному импедансу 25 (фиг. 22.18,3).

А теперь можно поставить забавный вопрос: что произой­ дет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18,6, бесконечно под­ ключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19,с)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной цепи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если но­ вое звено подключить к «переднему» концу. Ведь если к бес­ конечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью. Пусть мы обозначили импеданс между

187

Ф и г . 22J8. Эффективный импеданс лестницы.

зажимами а и b бесконечной цепи через г0; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов c a d , тоже равен го. Поэтому если смотреть с переднего конца, то вся цепь представ­ ляется в виде, показанном на фиг. 22.19,6. Заменяя два па­ раллельных импеданса г% и z<j одним и складывая его с Z\, сразу же получаем импеданс всего сочетания

Но этот импеданс тоже равен ZQ. Получается уравнение

Найдем из него г0:

Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконеч­ ной лестницы повторяющихся параллельных и псследователь-

188

а

Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.

ных импедансов. Импеданс г0 называется характеристическим импедансом такой бесконечной цепи.

Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20,а). В этом случае импеданс бесконеч­ ной сети получается, если положить zt = iaL и z2= 1/коС. Заметьте, что первое слагаемое Z|/2 в (22.27) равно просто половине импеданса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу беско­ нечную сеть так, как показано на фиг. 22.20,6. Глядя на бес­ конечную сеть из зажима а', мы бы увидали характеристиче­ ский импеданс

(22.28)

Смотря по тому, какова частота ш, наблюдаются два интерес­ ных случая. Если <о2 меньше 4/ L C , то второе слагаемое под корнем меньше первого, и импеданс z0 станет действительным числом. Если же ш2 больше 4/L C , то импеданс г0 станет чисто мнимым числом и его можно записать в виде

Раньше мы сказали, что цепь, составленная из одних только мнимых импедансов, таких, как индуктивности и ем­ кости, будет иметь чисто мнимый импеданс. Но как же тогда выходит, что в той цепи, которую мы сейчас рассматриваем

О-

189

(а в ней есть только одни L и С), импеданс при частотах

ниже -у/ A/LC представляет собой чистое сопротивление? Для высоких частот импеданс чисто мнимый, в полном согласии с нашим прежним утверждением. Для низких же частот им­ педанс — чистое сопротивление и поэтому поглощает энергию. Но как может цепь, подобно сопротивлению, непрерывно по­ глощать энергию, если она составлена только из индуктивно­ стей и емкостей? Ответ состоит в том, что этих емкостей и самоиндукций бесконечное множество, и получается, что, когда источник соединен с цепью, он обязан сперва снабдить энергией первую индуктивность и емкость, затем вторую, тре­ тью и т. д. В цепях подобного рода энергия непрерывно и с постоянной скоростью отсасывается из генератора и безоста­ новочно течет в цепь. Энергия запасается в индуктивностях и емкостях вдоль цепи.

Эта идея подсказывает интересную мысль о том, что фак­ тически происходит внутри цепи. Следует ожидать, что если к переднему концу цепи подключить источник, то действие этого источника начнет распространяться вдоль по цепи к бесконечному концу. Распространение волн вдоль линии очень похоже на излучение от антенны, которая отбирает энергию от питающего ее источника; точнее, можно ожидать, что та­ кое распространение происходит, когда импеданс действите­

лен, т. е. когда а меньше V 4/LC, Но когда импеданс чисто

мнимый, т. е. при о, больших V 4/LC, то такого распростране­ ния ожидать не следует.

§7. Фильтры

Впредыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лестничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энер­ гию, если эта энергия подводится с частотой, которая ниже

некоторого критического значения V 4/LC, называемого гра­ ничной частотой ш0. У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, на высоких частотах (при и > ш0) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления.

Пусть передний конец лестницы соединен с каким-то гене­ ратором переменного тока, и нас интересует, как выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому проис­ ходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что случается, когда мы переходим от п-го звена к (и-|- 1)-му.

190