Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

тогда, когда скорость проводника v равна нулю; в противном случае справедливо выражение (2 2.1 2).

Вернемся к нашему генератору, показанному на фиг. 22.7. Теперь мы видим, что контурный интеграл от электрического поля Е между зажимами а и &по проводящим путям генера­ тора должен быть равен контурному интегралу от v X В по тому же пути:

Однако по-прежнему остается верным, что контурный инте­ грал от Е по замкнутой петле, включая возвращение от за­ жима Ь к а вне генератора, должен быть равен нулю, потому что меняющиеся магнитные поля отсутствуют. Так что пер* вый интеграл в (22.13) по-прежнему равен V— напряжению на зажимах. Оказывается, что интеграл в правой части (22.13) просто равен быстроте изменения потока через ка­ тушку, а значит, по правилу потока, равен э. д. с. катушки. И опять получается, что разность потенциалов между зажи­ мами равна э. д. с. цепи в согласии с уравнением (22.11). Так что все равно, какой у нас генератор: меняется ли в нем маг­ нитное поле возле закрепленной катушки, вертится ли в за­ крепленном магнитном поле катушка, —внешние свойства генераторов одни и те же. На клеммах всегда существует на­ пряжение V, которое не зависит от тока в цепи, а опреде­ ляется только условиями внутри генератора, формируемыми по нашему произволу.

Поскольку мы пытаемся понять работу генератора, осно­ вываясь на уравнениях Максвелла, может возникнуть вопрос об обычном химическом элементе, о батарейке для карман­ ного фонарика. Это тоже генератор, т. е. источник напряжения, хотя и при­ меняется он только в це­ пях постоянного тока.

Проще всего разобраться в элементе, изображен-

Ф иг. 22.8, Химический элемент.

m

ном на фиг. 2 2 .8. Представьте две металлические пластинки, погруженные в какой-то химический раствор. Пусть раствор содержит в себе положительные и отрицательные ионы. Мы предположим еще, что ионы одного сорта, скажем отри­ цательные, много массивнее ионов, имеющих противопо­ ложную полярность, так что их движение в растворе (диф­ фузия) происходит намного медленнее. Наконец, положим, что тем или иным способом удалось добиться изменения кон­ центрации раствора от места к месту, так что число ионов обеих полярностей, скажем у нижней пластинки, становится намного больше концентрации ионов у верхней пластинки. Благодаря большей подвижности положительные ионы легче проникнут в область низких концентраций, так что будет на­ блюдаться легкий избыток положительных зарядов, дости­ гающих верхней пластинки. Она зарядится положительно, а нижняя будет обладать избытком отрицательного заряда. По мере того как все больше и больше зарядов диффунди­ рует к верхней пластинке, потенциал ее будет расти, пока возникающее между пластинками электрическое поле не соз­ даст силу, действующую на ионы, которая компенсирует их избыточную подвижность. Два электрода быстро достигают разности потенциалов, характерной для внутреннего устрой­ ства этого элемента.

Рассуждая так же, как это мы делали, когда говорили об идеальном конденсаторе, мы убедимся, что, если нет избытка диффузии ионов какого-либо знака, разность потенциалов между зажимами а и Ь равна просто контурному интегралу от электрического поля между электродами. Конечно, между конденсатором и таким химическим элементом есть суще­ ственная разница. Если на мгновение закоротить выводы кон­ денсатора, он разрядится и разности потенциалов между вы­ водами уже не будет. В случае же химического элемента ток с зажимов можно снимать непрерывно, никак не изменяя при этом э. д. с., пока, конечно, реактивы в элементе не израсхо­ дуются. Известно, что в реальном элементе разность потен­ циалов на зажимах убывает по мере возрастания снимаемого с него тока. Но при нашей идеализации задачи легко себе представить, что у нас есть идеальный элемент, в котором на­ пряжение на электродах не зависит от силы тока. Тогда ре­ альный элемент можно рассматривать как идеальный, соеди­ ненный последовательно с сопротивлением.

§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа

Как мы видели в предыдущем параграфе, очень просто описывать идеальные элементы схем, говоря лишь о том, что происходит вне элемента. Ток и напряжение связаны линейно.

177

Ф и г . 22.9. Сумма падений напряжении вдоль любого замкнутого пути равна нулю.

Но очень сложно описать все то, что на самом деле происходит вну­ три элемента, и весьма трудно при этом пользоваться языком уравне­ ний Максвелла. Представьте, что вам нужно точно описать электри­ ческие и магнитные поля внутри радиоприемника, состоящего из со­ тен сопротивлений, емкостей и само­ индукций. Было бы непосильным делом проанализировать такую ме­ шанину, пользуясь уравнениями Максвелла. Но, делая множество приближений, которые мы описали в § 2 , и переводя существенные

черты реальных элементов схем на язык идеализаций, можно проанализировать электрическую цепь сравнительно просто. Сейчас мы покажем, как это делается.

Пусть имеется цепь, которая состоит из генератора и не­ скольких импедансов, связанных между собой так, как пока­ зано на фиг. 22.9. Согласно нашим приближениям, в областях между отдельными элементами цепи магнитного поля нет. По­ этому интеграл от Е вдоль любой кривой, которая не прохо­ дит ни через один из элементов, равен нулю. Рассмотрим кри­ вую Г, показанную штрихом на фиг. 22.9, которая обходит по цепи кругом. Контурный интеграл от Е вдоль этой кривой со­ стоит из нескольких частей. Каждая часть —это интеграл от одного зажима элемента цепи до следующего. Мы назвали этот контурный интеграл падением напряжения на элементе цепи. Тогда весь контурный интеграл равен просто сумме па­ дений напряжения на всех элементах цепи порознь:

фЕ .< *5= ]Г к,,.

Апоскольку контурный интеграл равен нулю, то получается, что сумма разностей потенциалов вдоль всего замкнутого контура цепи равна нулю:

Е

Вдоль любого контура

178

.Этот результат следует из одного из уравнений Максвелла, утверждающего, что в области, где нет магнитных полей, кри­ волинейный интеграл от Е по замкнутому контуру равен нулю.

Теперь рассмотрим другую цепь (фиг. 22.10). Горизон­ тальная линия, соединяющая выводы а, Ь, с и d, нарисована для того, чтобы показать, что эти выводы все связаны между собой или что они соединяются проводами с ничтожным со­ противлением. Во всяком случае такой чертеж означает, что все выводы а, b, с, d находятся под одним потенциалом, а вы­ воды е, f, g и h —тоже под одним. Тогда падение напряже­ ния V на любом из четырех элементов одинаковое.

Но одна из наших идеализаций состояла в том, что на вы­ водах импедансов сосредоточиваются пренебрежимо малые количества электричества. Предположим теперь, что и элек­ трическим зарядом, накапливаемым на соединительных про­ водах, тоже можно пренебречь. Тогда сохранение заряда тре­ бует, чтобы любой заряд, покинувший один из элементов цепи, немедленно входил в какой-либо другой элемент цепи. Или, что то же самое, чтобы алгебраическая сумма токов, входящих в любую из точек соединения, была равна нулю. Под точкой соединения мы понимаем любую совокупность выводов, таких, как a, b, с, d, которые соединены друг с дру­ гом. Такая совокупность соединенных между собой выводов обычно называется «узлом». Сохранение заряда, стало быть, требует, чтобы в цепи, показанной на фиг. 2 2.10, было

Сумма токов, входящих в узел, состоящий из четырех выво­ дов е, f, в, h, тоже должна быть равна нулю:

уравнения не независимы. Общее правило гласит, что сумма токов, втекающих в любой узел, обязана быть равна нулю:

179

Наше прежнее заключение о том, что сумма падений на* пряжений вдоль замкнутого контура равна нулю, должно выполняться для каждого кон­ тура сложной цепи. Точно так же наш результат, что сумма, сил токов, втекающих в узел,

равна нулю, тоже должен выполняться для любого узла. Эти два уравнения известны под названием правил Кирхгофа. С их помощью можно найти силы токов и напряжения в ка­ кой угодно цепи.

Рассмотрим, например, цепь посложнее (фиг. 22.11). Как определить токи и напряжения в ней? Прямой путь решения таков. Рассмотрим каждый нз четырех вспомогательных кон­ туров цепи. (Скажем, один контур проходит через клеммы а, Ъ, е, d и обратно к а.) Для каждого замкнутого контура на­ пишем уравнение первого правила Кирхгофа —сумма паде­ ний напряжения вдоль всякого контура равна нулю. Нужно помнить, что падение напряжения считается положительным, если направление обхода совпадает с направлением тока, и отрицательным, если направление обхода противоположно направлению тока; и надо еще помнить, что падение напря­ жения на генераторе равно отрицательному значению э. д. с, в этом направлении. Так что для контура abeda получается

z \ h 2 3 / 3 4 " 2 ^ 4 — & \ — О -

Прилагая те же правила к остальным контурам, получим еще три сходных уравнения.

После этого нужно написать уравнения для токов в каж­ дом узле цепи. Например, складывая все точки в узле Ь, по­ лучаем

/, — /з — / 2= 0.

Аналогично, в узле е уравнение для токов принимает вид

/ з - Л + / 8- / 5 = о.

В изображенной схеме таких уравнений для токов пять. Ока­ зывается, однако, что любое из этих уравнений можно вы-

180