Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

вает промежуток между пластинами, проходит с нижней обкладки на клемму Ь и возвращается к клемме а по про­ странству снаружи конденсатора. Раз магнитного поля нет, контурный интеграл от Е по этому замкнутому пути равен нулю. Интеграл можно разбить на три части:

Интеграл вдоль проводов равен нулю, потому что внутри иде­ альных проводников электрического поля не бывает. Инте­ грал от зажима b до а снаружи конденсатора равен разности потенциалов между клеммами со знаком минус. А поскольку мы считаем, что обкладки как-то изолированы от прочего мира, то общий заряд двух обкладок должен быть равен нулю; и если на верхней обкладке есть заряд Q, то на ниж­ ней имеется заряд —Q. Раньше мы уже видели, что если за­ ряды двух проводников равны и противоположны, +Q и —Q, то разность потенциалов между ними есть Q/С, где С—ем­ кость этих проводников. Из (22.7) следует, что разность по­ тенциалов между зажимами а и b равна разности потенциа­ лов между обкладками. Поэтому

Электрический ток /, втекающий в конденсатор через клемму а (и покидающий его через клемму Ь), равен dQjdt— быст­ роте изменения электрического заряда на обкладках. Запи­ сывая dVjdt в виде mV, связь между током и напряжением для конденсатора можно дать в следующем виде:

mV = ~ ,

или

Тогда импеданс z конденсатора равен

Третий элемент, который нужно рассмотреть, —это сопро­ тивление. Но, поскольку мы пока еще не рассматривали элек­ трических свойств реальных веществ, мы не готовы обсуж­ дать то, что творится внутри реального проводника. Придется просто принять как факт, что внутри реальных веществ могут существовать электрические поля, что эти поля порождают поток электрического заряда (т. е. ток) и что этот ток про­ порционален интегралу электрического поля от одного конца

171

-I а

Ф и г . 22.3. Сопротивление.

проводника до другого. Затем надо представить себе идеаль­ ное сопротивление, сделанное так, как показано на фиг. 22.3. Два провода, которые мы считаем идеальными проводни­ ками, тянутся от клемм а и &к двум концам бруска, сделан­ ного из материала, оказывающего сопротивление току. Сле­ дуя нашей обычной линии рассуждений, приходим к выводу, что разность потенциалов между зажимами а и b равна кон­ турному интегралу от внешнего электрического поля, равному также контурному интегралу от электрического поля по пути, проходящему через брусок. Отсюда следует, что ток / через сопротивление пропорционален напряжению V на зажимах:

где R называется сопротивлением. Позже мы убедимся, что связь между силой тока I и напряжением V для реальных проводящих материалов только приближенно можно считать линейной. Мы убедимся также, что считать эту приближен­ ную пропорциональность не зависящей от частоты изменений тока и напряжения можно лишь тогда, когда частота не слишком высока. И тогда для переменных токов напряжение на зажимах оказывается в фазе с током, а это значит, что сопротивление — число действительное:

Результаты наших рассуждений о трех сосредоточенных элементах цепи — индуктивности, емкости, сопротивлении — подытожены фиг. 22.4. На этом рисунке, как и на предыду­ щих, напряжение отмечено стрелкой, направленной от одной клеммы к другой. Если напряжение «положительно», т. е. если на клемме а потенциал выше, чем на клемме Ь, то стрел­ ка указывает направление «падения напряжения».

Хотя мы сейчас говорим о переменных токах, конечно, можно включить сюда и особый случай цепей постоянного тока, если перейти к пределу, когда частота со стремится

172

к нулю. При нулевой частоте, т. е. при постоянном токе, им­ педанс индуктивности стремится к нулю; между клеммами наступает короткое замыкание. Импеданс же емкости при по­ стоянном токе стремится к бесконечности; цепь между клем­ мами размыкается. Принимать в расчет при постоянных, то­ ках нужно только обычные сопротивления: они не зависят от частоты.

В описанных до сих пор элементах цепи ток и напряжение были пропорциональны друг другу. Если одно равно нулю, то и другое равно нулю. Обычно мы мыслим на таком языке: приложенное напряжение «ответственно» за ток или ток «соз­ дает» напряжение на клеммах. Элемент словно в некотором смысле «отвечает» на «приложенные» внешние условия. По этой причине такие элементы называются пассивными. Тем самым их можно противопоставить активным элементам, та­ ким, как генераторы, которые мы рассмотрим в следующем параграфе и которые представляют собой источники колеба­ ний токов или напряжений в цепи.

§ 2. Генераторы

Поговорим теперь об активном элементе цепи, источнике и токов и напряжений в ней, т. е. о генераторе.

Пусть у нас имеется катушка, наподобие катушки само­ индукции, но только витков у нее немного и на магнитное поле ее собственного тока можно внимания не обращать. Эта катушка, однако, находится в переменном магнитном поле, подобном тому, какое создается вращающимся магнитом (фиг. 22.5). (Мы уже видели ранее, что такое вращающееся магнитное поле можно также создать с помощью подходящей совокупности катушек с переменными токами.) Сделаем сно­ ва несколько упрощающих допущений. Это все те же допу­ щения, которые мы делали, говоря об индуктивности. В част­ ности, мы предполагаем, что меняющееся магнитное поле ограничено лишь небольшой областью поблизости от катушки и за пределами генератора, в пространстве между клеммами* оно не чувствуется,

173

Повторяя опять в точности тот же анализ, что и для ин­ дуктивности, рассмотрим контурный интеграл от Е вдоль замкнутой петли, которая начинается на зажиме а, проходит по катушке до зажима b и возвращается к началу по прост­ ранству между зажимами. Снова заключаем, что разность по­ тенциалов между зажимами а и b равна всему интегралу от Е вдоль петли:

V = - § E - d s .

Этот контурный интеграл равен э. д. с. в цепи, и поэтому раз­ ность потенциалов V между выводами генератора тоже равна скорости изменения магнитного потока сквозь катушку:

Предполагается далее, что у идеального генератора магнит* ный поток через катушку определяется внешними условиями (такими, как угловая скорость вращающегося магнитного поля) и что на него никак не влияют токи, текущие через ге­ нератор. Таким образом, генератор (по крайней мере рас­ сматриваемый нами идеальный)—это не импеданс. Разность потенциалов на его зажимах определяется произвольно зада­ ваемой э.д. с. & { t ) . Такой идеальный генератор представ­

ляют схемой, показанной на фиг. 22.6. Ма­ ленькая стрелка дает направление положи­ тельной э. д. с. Положительная э. д. с. в гене­ раторе, изображенном на фиг. 2 2.6, создает напряжение V = § с более высоким потен­ циалом на зажиме а.

Ф и г . 22.6. Обозначение идеального генератора.

174

Фи г . 22.7. Генератор, состоящий из катушки, вращающейся в непод­ вижном магнитном поле.

Можно сделать генератор и по-другому. Внутри он будет? устроен совершенно иначе, но снаружи, на зажимах, он ничем не будет отличаться от только что описанного. Представим катушку, которая вращается в неподвижном магнитном поле (фиг. 22.7). Мы изобразили магнитную палочку, чтобы пока­ зать наличие магнитного поля, но его можно, конечно, заме­ нить любым другим источником постоянного магнитного поля, скажем добавочной катушкой, по которой течет по­ стоянный ток. Как показано на рисунке, вращающаяся ка­ тушка связана с внешним миром скользящими контактами, или «кольцами». Нас опять интересует разность потенциалов, которая появляется между клеммами а и Ь, т. е. интеграл от. электрического поля между а и b по пути снаружи гене­ ратора.

Теперь в этой системе уже нет изменяющихся магнитны» полей и на первый взгляд кажется удивительным, откуда на зажимах генератора берется напряжение. Действительно, ведь нигде же внутри генератора нет никаких электрических полей. Мы, как обычно, предполагаем для наших идеальных элементов, что внутри них провода сделаны из идеально про­ водящего материала; а, как уже неоднократно повторялось, электрическое поле внутри идеального проводника равно нулю. Но это не всегда верно. Это неверно тогда, когда про­ водник движется в магнитном поле. Правильное утвержде­ ние такозо: общая сила, действующая на произвольный за­ ряд внутри идеального проводника, должна быть равна нулю. Иначе в нем возник бы бесконечный ток свободных зарядов. Так что надо брать сумму электрического поля Е и векторного произведения скорости проводника v на магнит­ ное поле В; это есть полная сила, действующая на единичный заряд, и вот она-то всегда равна нулю:

F = E -|-v X B = 0 (в идеальном проводнике). (22.12)

А наше прежнее утверждение о том, что внутри идеальных проводников электрических полей не бывает, верно лишь

175