Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Толщина каждого Д К,- равна w, а объем wa2. Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение эаряда, содержит в себе заряд доа2р, гдер — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (/) велико, то можно все г,- в знаменате­ лях положить равными некоторому среднему значению, ска­ жем, взятому с учетом запаздывания положению г' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

N

p wa2

Z г' ' i-l

где A V N — тот последний элемент ДVi, который еще накла­ дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7,3). Сумма тем самым равна

pw a2 pa3 ( N w \

N r'— — h r у

Ho pa3 — просто общий заряд q, а Nw- ■длина Ь, показанная на фиг. 21.7,3. Получается

А чему же равно Ь? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от = (/— г\{с) до tN = (t — rN/c). Это расстояние, пройденное зарядом за время

г. — r„ Ь

V * — 7 -

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное рас­ стояние равно vAt = vb/c. Но длина b— само это расстояние плюс a:

b= a + ±b.

Отсюда

6 = -1- m •

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запазды­

ф(1, /)== 4песг' ll-(»/c)W

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). По­ явился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам за­ ряд движется. Когда заряд движется к точке (У), его вклад

let

в интеграл увеличивается в Ь[а раз. Поэтому правильное зна­ чение интеграла равно qjr', умноженному на 6/а, т. е. мз

1 /[ 1 — ^ / с]зап-

Если скорость заряда направлена не к точке наблюде­ ния (/), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (/). Если обозначить эту со­ ставляющую скорости через vr, то поправочный множитель запишется в виде 1/[1 — vr/c]3aa. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «размер» а заряда не вошел в оконча­ тельный итог, то тот же результат получится, если заряд стя­ нется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потенциал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью, равен

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

ф*1, 4яев[г—(v-r/C)]3a„ ’ (21‘33)

где г — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в кото­ рой вычисляется потенциал ср, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'= (t — г'/с).

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потен­ циалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), те­ перь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помощи В = ? Х А и Е = —V<p — дАjdt). Теперь остается одна арифметика. Впрочем, арифметика эта довольно запу­ танна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквива­ лентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта *.

* Если у вас достаточно времени и вам не жаль бумаги, то попытай­ тесь проделать это самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, не забывайте, что производные г' довольно запутанны, ведь они суть функ­ ции от Г! Во-вторых, не пытайтесь вывести формулу (21.1); лучше про­ делайте в ней все дифференцирования и затем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полученным из потенциалов (21.33) и (21.34).

162

§6. Потенциалы заряда, движущегося

спостоянной скоростью; формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к слу­ чаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, н вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вы­ вод, используя уже принцип относительности. Мы знаем ве­ личину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятиви­ стским преобразованием от одной системы к другой. Но тео­ рия относительности ведет свое начало от теории электриче­ ства и магнетизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)] — это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравнений электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к пре­ образованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потенциалу, полученному в предыду­ щем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым теорию Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со ско­ ростью v (фиг. 2 1.8 ). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х,у,г). Если / = 0 — момент, в который заряд проходит

где г' — расстояние от заряда до точки Р в этот запаздываю­ щий момент. В это более раннее время /' заряд был в x—vt', так что

Чтобы найти г' или V, это уравнение надо сопоставить с (21.35), Исключим сперва Р, решив (21.35) относительно г' и подставив в (21.36). Возведя затем обе части в квадрат, получим

С2(/ _ t’f = (х - vt')2-f if + z2,

т. е. квадратное уравнение относительно t'. Раскрыв скобки

163

Р(х^г)

« Запаздывающее» положение (в момент

t'= t-

Отсюда найдем

- 7 лА * ~ »')’ + (l - ■?■)<!/’ + 2!) • (21.37)

Чтобы получить г', надо это /' подставить в

г '= с (*_*').

(ввиду того, что v постоянно).

Составляющая v в направлении г' равна v(x — v t')lr, так

Подставляя (1 — v2jc2)t' из (21.37), получаем

ф(х, у, г, /)— Л 0 4ле

y\J{x — vtf + (l — £ ) (У2+ г2)

164

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

Векторный потенциал А —это такое же выражение, но с до­ бавочным множителем v/c2:

А ~ £ ф.

В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд нахо­ дился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид

Ф (*, У, г) = _я_______ I

4ле0 W + уг+ г :]"! ’

А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с по­

мощью формул

r . x - v t

V1— ’

у~*у,

Z —*■Z.

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы. _____

Но что можно сказать о добавочном множителе 1 / Y l —«7е2» который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал А, если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что А и ф вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу р и

полной энергии U частицы. Добавка 1 / У 1 — v2/c2 в (21.39) —• это тот самый множитель, который появляется всегда, когда преобразуют компоненты четырехвектора, так же как плот­

поненты одного четырехвектора, потому что в гл. 13 (вып. 5) уже было показано, что j и р —компоненты четырехвектора.

Позднее мы более подробно разберем относительность в электродинамике; здесь мы хотели только показать, как есте­ ственно уравнения Максвелла приводят к преобразованиям Лоренца. Поэтому не надо удивляться, узнав, что законы электричества и магнетизма уже вполне пригодны и для тео­ рии относительности Эйнштейна. Их не нужно даже как-то особо подгонять, как это приходилось делать с ньютоновой механикой.

163