Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Уравнения Максвелла:

И их решения:

Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного заряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать нелегко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, ни в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лекций) *. Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост. (Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы огра­ ничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на несколь­ ких примерах, что (21.15) и (21.16) приводят к тем же ре­ зультатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нерелятивистским, (2 1.1 ) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 90%' всего того, что было сказано о явлении света.)

Рассмотрим такую ситуацию, когда имеется сгусток заря­ дов, каким-то образом перемещающийся в небольшой обла­ сти; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого

* Формула была выведена Р. Фейнманом в 1950 г. и приводится иногда в лекциях как удобный способ расчета синхротронного излучения.

151

ней части сгустка совсем не в тот момент, когда в нижней, а немного в другое время. Полагая гц — г в j(f — г^/с), мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время (t — г/с). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость v заряда много меньше с. Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены j на ру интеграл (21.17) превращается в

T W G 2- ‘ - 7 ) dv--

Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот инте­ грал просто равен v/r, умноженному на общий заряд q. Но q\ — это как раз др/дt (скорость изменения дипольного мо­ мента), только надо ее, конечно, определять в более раннее

время (/ — r/с). Запишем эту величину так: р(/ —г/с). Итак, мы получаем для векторного потенциала

* ('■ 0 - 4 , Ь ■ <2М8>

Мы узнали, что ток в меняющемся диполе создает вектор­ ный потенциал в форме сферических волн, источник которых

обладает силой р/4яеос2.

Теперь из В == V X А можно получить магнитное поле. По­

скольку р направлен по оси г, у А есть только г-компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Зна­

Чтобы продифференцировать, вспомним,что г = Ух2 + у2+ г2, так что

что убывает как 1 /г2, т. е. как поле статического диполя (по­ тому что в данном направлении у/г постоянно).

Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится

<2 1 - 2 2 >

где р — просто вторая производная р по /. Вот это-то полу­ чающееся от дифференцирования числителя слагаемое и от­ ветственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убы­

153

вающее на расстоянии как 1 /г, во-вторых, зависит от ускорен ния заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (2 1.Г), описывающую световое из­ лучение.

Явление это настолько интересно и важно, что стоит не­ много подробнее разобраться в том, откуда берется это «ра­ диационное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от т как 1/г и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая полу­ чить поле, дифференцируем по пространственным координа­ там, то не получаем просто поля вида 1/г2 (конечно, с соответ­ ствующей временной задержкой)?

А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колеба­ тельное движение вверх и вниз. Тогда

р = рг = p0s'umt.

и

Если начертить график зависимости Атот г в каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Ампли­ туда в пиках убывает как 1 /г, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида 1/г. Пространственные производные в формуле пропор­ циональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встре­ чаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1 /г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пи­ ках пропорциональны амплитуде волны, меняющейся как 1 /г, Тем самым объясняется степень спадания радиационного слагаемого с расстоянием.

Все это получается оттого, что временное вариации в источнике превращаются в пространственные вариации, когда

Ф и г . 21.3. Зависимость ве­ личины. А от г в момент t для сферической волны от колеблющегося диполя.

волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.

Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты маг­ нитного поля. Для Вх мы получили (2 1.2 1) и (2 1.2 2). Поэтому

И все это можно объединить в одну красивую векторную фор­ мулу:

I [р + (г/с) рЬ -г/сХ г

(21.23)

4яе0с2 г3

А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших уда­ лениях (когда г велико) следует принимать в расчет только р.

что получилось бы из формулы (2 1.1 ').

Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что происходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока jdV привносит в магнит­ ное поле следующий вклад:

рое слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект за­ паздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых г к результату, очень близкому к (21.24).

В этом можно убедиться следующим образом. Когда г мало, (t — r/с) не очень отличается от /, и в (21.23) скобки

Ф и г. 21.4. Поля излучения В и £ колеблющегося диполя.