Ф и г . 20.6. Сферическая волна “ф = f ( / — г / с ) / г .
а—зависимость |
ф от г при t = / 1 |
б—зависимость |
ф от t при г=г» |
ита же волна в более поздний момент времени tit
ита же самая волна на расстоянии га.
Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью с. Если на минуту забыть об г в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каж дый данный момент обладает определенной формой, которая распространяется со скоростью с. Однако г в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплитуда убывает пропорционально 1/л Иными словами, в отличие от плоской волны амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны беспрерывно спадает (фиг. 20.6). Этот факт легко по нять из простых физических соображений.
Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квад рата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую ибольшую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная
энергия сохраняется, плотность энергии должна |
убывать как |
1 /г2, а амплитуда — как 1/л Поэтому формула |
(20.35) для |
сферической волны вполне «разумна».
Мы игнорировали другое возможное решение одномерного волнового уравнения
n|>= g ( / + 7 )
или
__ еа + г/с)
ч>— ,
Это тоже сферическая волна, но бегущая внутрь, от боль ших г к началу координат.
Тем самым мы делаем некоторое специальное предполо жение. Мы утверждаем (без какого-либо доказательства), что волны, создаваемые источником, всегда бегут только отнего.
141
Поскольку мы знаем, что волны вызываются движением за рядов, мы настраиваемся на то, что волны бегут от зарядов. Было бы довольно странно представлять, что прежде чем за ряды были приведены в движение, сферическая волна уже вышла из бесконечности и прибыла к зарядам как раз в тот момент, когда они начали шевелиться. Такое решение воз можно, но опыт показывает, что, когда заряды ускоряются, волны распространяются от зарядов, а не к ним. Хоть урав нения Максвелла предоставляют обеим волнам равные воз можности, мы привлекаем добавочный факт, основанный на опыте, что «физическим смыслом» обладает только расходя щаяся волна.
Нужно, однако, заметить, что из этого добавочного пред положения вытекает интересное следствие: мы теряем при этом симметрию относительно времени, которая есть у урав нений Максвелла. Как исходные уравнения для Е и В, таки вытекающие из них волновые уравнения при изменении знака / не меняются. Эти уравнения утверждают, что любому решению, которое отвечает волне, бегущей в одну сторону, отвечает столь же правильное решение для волны, бегущей
вобратную сторону. И утверждая, что мы намерены брать
врасчет только расходящиеся сферические волны, мы делаем тем самым важное дополнительное предположение. (Очень тщательно изучалась такая электродинамика, в которой обхо дятся без этого дополнительного предположения. Как это нп удивительно, но во многих обстоятельствах она не приводит
кфизически абсурдным результатам. Однако обсуждение этих идей теперь увлекло бы нас чересчур в сторону. Мы по говорим об этом подробнее в гл. 28.)
Нужно упомянуть еще об одном важном факте. В нашем решении для расходящейся волны (20.35) функция ф в на чале координат бесконечна. Это как-то необычно. Мы бы предпочли иметь такие волновые решения, которые гладки повсюду. Наше решение физически относится к такой ситуа ции, когда в начале координат располагается источник. Зна чит, мы нечаянно сделали одну ошибку: наша формула (20.35) не является решением свободного волнового уравне ния (20.33) повсюду, уравнение (20.33) с нулем в правой части решено повсюду, кроме начала координат. Ошибка вкралась оттого, что некоторые действия при выводе уравне ния при г = 0 «незаконны».
Покажем, что ту же самую ошибку легко сделать и в электростатике. Допустим, что нам нужно решить уравнение
электростатического |
потенциала |
в пустом |
пространстве |
V2<p = 0. Лапласиан |
равен нулю, |
потому что |
мы предполо |
жили, что никаких зарядов нигде нет. Но как обстоит дело со сферически симметричным решением уравнения, т, е. с
142
функцией ф, зависящей только от г? Используя для лапла сиана формулу (20.32), получаем
1 |
, v |
п |
7 |
* r W |
= 0. |
Умножив это выражение на г, приходим к уже интегрировав шемуся уравнению
17г(гф) = 0 .
Проинтегрировав один раз по г, мы увидим, что первая про изводная гф равна постоянной, которую мы обозначим че рез а:
7 7 (ГФ) = а.
Еще раз проинтегрировав, мы получим для гф формулу гф= аг + Ь,
где Ь— другая постоянная интегрирования. Итак, мы обна ружили, что решение для электростатического потенциала в пустом пространстве имеет вид
Ф = а + 7 -
Что-то здесь явно не так. Мы же знаем решение для электростатического потенциала в области, где нет электрических зарядов: потенциал всюду постоянен. Это соответствует пер вому слагаемому в решении. Но имеется еще и второй член, подсказывающий нам, что в потенциал дает вклад нечто, ме няющееся как 1/г. Мы знаем, однако, что подобный потен* циал соответствует точечному заряду в начале координат. Стало быть, хоть мы и думали, что нашли решение для по тенциала в пустом пространстве, наше решение фактически дает нам также поле точечного источника в начале коорди нат. Вы замечаете сходство между тем, что сейчас произо шло, и тем, что произошло тогда, когда мы искали сфери чески симметричное решение волнового уравнения? Если бы в начале координат действительно не было ни зарядов, ни токов, то не возникли бы и сферически расходящиеся волны. Сферические волны должны вызываться источниками в на чале координат. В следующей главе мы исследуем связь ме жду излучаемыми электромагнитными волнами и вызываю щими их токами и напряжениями.
Г л а в а
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА С ТОКАМИ И ЗАРЯДАМИ
§ 1. Свет и электромагнитные волны
В предыдущей главе мы видели, что среди решений уравнений Максвелла есть электро магнитные волны. Свету, радио, рентгеновским лучам и т. д. отвечают электромагнитные вол- 8 ны, отличающиеся только длиной волны. Мы уже подробно изучали различные явления,
связанные со светом. В этой главе мы хотим . _ связать оба вопроса и показать, что уравне- §4-Поля колеолю-
иия Максвелла действительно могли служить щегося диполя основой для изучения свойств света.
Наше изучение света мы начали с того, что §5. Потенциалы
выписали уравнение для электрического поля, |
движущегося |
||
создаваемого зарядом, который мог как-то |
заряда; |
общее |
|
произвольно двигаться. Уравнение |
имело вид |
решение |
Лье- |
|
|
нара и |
|
|
|
Вихерта |
|
+ -7Г-ШГ*']» (2 1.1)§6.Потенциалы |
|||
с |
J |
заряда, движу- |
|
сВ = еГ' X Е |
|
щегося с посто- |
|
[см. гл. 28 (вып. 3 ), выражение (28.3)]*. Если заряд движется произвольным обра-
зом, то электрическое поле, которое существует в некоторой точке, в настоящий момент зависит только от положения и движения заряда в более ранний момент времени, отстающнй на интервал, необходимый для того, чтобы свет, двигаясь со скоростью с, прошел расстояние г' от заряда до точки поля. Иными словами, если вам нужно знать электрическое ноле в точке (/) в момент /, вы должны под считать положение (2') заряда и его движе ние в момент (t— г '1с) [где г' — расстояние до точки (/)] из положения заряда (2') в момент
С обратным знаком. См. дальше. — Прим, ред.
янной скоростью; формула Лоренца
Повторить: гл. 28
' вып*4) «але-
ктромагнитное
излучение»; гл.31 (вып. 3] «Как возникает показатель преломления»; гл.34 (вып. 3] «Релятивист ские явления излучении»
Фие. 21.1, Поля в точке (/) в момент t зависят от того по
ложения (2'), которое заряд q занимал о момент (t —г/с).
(/ —r'Jc). Штрихи здесь напоминают вам, что / —это так называемое «запаздывающее расстояние» от точки (2') к точке (/), а вовсе не теперешнее расстояние между точ кой (2) — положением заряда в момент t — и точкой поля (/) (фиг. 21.1).. Заметьте, что сейчас по-иному определяется на правление единичного вектора ег. В гл. 28 и 34 (вып. 3) мы уславливались, что г (и, стало быть, ег) будет показывать на источник. Теперь же мы следуем определению, используемому в формулировке закона Кулона, по которому г направлено
от заряда [в точке (2 )] |
к точке (1) поля. Единственное от |
личие в том, что новое г (и ег) противоположно старому. |
|
Мы видели также, |
что если скорость заряда v всегда |
много меньше с и если рассматриваются только точки, сильно удаленные от заряда, так что в (2 1.1 ) существенно лишь последнее слагаемое, то поля можно также записать в виде
Е = —• |
q Гпроекция ускорения заряда в момент "I |
^ |
4яе0с2/ | ^ —— на направление, поперечное к / J ' |
|
|
|
|
|
н |
сВ = е,-' X Е. |
|
|
|
Рассмотрим более детально, что дает полное уравнение (21.1). Вектор ег—это единичный вектор, направленный от «запаздывающей» точки (2') к точке (/). Тогда первое сла гаемое дает то, чего следовало бы ожидать, если бы заряд в своем «запаздывающем» положении создавал кулоново поле, — это можно наззать «запаздывающим кулоновым по лем». Электрическое поле обратно пропорционально квад рату расстояния и направлено от «запаздывающего» положе ния заряда (т. е. по вектору ег<).
Но это только первое слагаемое. Остальные напоминают нам, что законы электричества не утверждают, что все поля, оставаясь, как и были, статическими, начинают просто за паздывать (а такое утверждение порой приходится слышать). К «запаздывающему кулонову полю» надо добавить два дру-
145