гих слагаемых. Второе говорит, что к запаздывающему кулонову полю надо сделать «поправку», равную быстроте изме нения запаздывающего кулонова поля, умноженной на г'/с, т. е. на само запаздывание. Этот множитель как бы стремится скомпенсировать запаздывание в первом. Два первых слагае мых соответствуют вычислению «запаздывающего кулонова поля» и затем экстраполяции его в будущее, на время r'jct т. е. как раз к моменту /! Экстраполяция линейна, как если бы мы предположили, что «запаздывающее кулоново поле» будет по-прежнему изменяться со скоростью, рассчитанной для заряда в точке (2'). Если поле меняется медленно, эффект запаздывания почти полностью сводится на нет поправочным слагаемым, и оба слагаемых вместе приводят к величине электрического поля, очень близкой к «мгновенному кулонову полю» заряда, находящегося в точке (2).
Наконец, в формуле (21.1) имеется еще третье слагае мое—вторая производная единичного вектора еД Изучая яв ление света, мы по существу использовали тот факт, чго вдали от заряда два первых слагаемых убывают как обрат ный квадрат расстояния и на больших расстояниях оказы ваются слишком слабыми по сравнению с третьим, которое убывает как 1/г. Поэтому мы сосредоточили наше внимание на последнем слагаемом и показали, что оно (опять-таки на больших расстояниях) пропорционально компоненте ускоре ния заряда, поперечной к линии зрения. (Кроме того, почти всюду ранее мы рассматривали только случай, когда заряды двигались нерелятивистски. Релятивистские эффекты рассмат ривались только в гл. 34, вып. 3.)
Теперь нужно попробовать связать эти две вещи. У нас есть уравнения Максвелла и есть формула (2 1 .1 ) для поля точечного заряда. Естественно спросить, эквивалентны ли они? Если мы сможем вывести (21.1) из уравнений Макс велла, то действительно поймем связь света с электромагне тизмом. Вывод ее и есть главная цель этой главы.
Выясняется, что полного вывода мы сделать не можем — чересчур сложные математические детали не позволят нам выйти с поля боя без потерь. Но все же мы подойдем к цели достаточно близко, так что вы легко поймете, как может быть установлена интересующая нас связь. Мы опустим лишь не которые математические детали. Математика этой главы мо жет показаться некоторым из вас довольно сложной, и, воз можно, вам даже станет скучно следить внимательно за вы водом. Но мы все же считаем, что очень важно связать то, что вы учили раньше, с тем, что вы изучаете сейчас, или по крайней мере продемонстрировать, как эта связь может быть установлена. Если вы не забыли прежние главы, то обратите внимание на то, что всякий раз, как мы принимали некото-
ле
рое высказывание за исходную точку обсуждения, мы забот ливо объясняли, является ли это высказывание новым «до пущением», т. е. отражает ли оно основной закон природы или же его можно в конечном счете вывести из каких-то дру гих законов. Дух этих лекций обязывает нас обсудить связь между светом и уравнениями Максвелла. Может быть, вам будет кое-где и трудно--с этим уж ничего не поделаешь: другого пути не существует.
§1. Сферические волны от точечного источника
Вгл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой
Е = - * Ф - 1 |
Г |
(2 1.2 ) |
|||
|
|||||
и |
|
|
|
(21.3) |
|
B= V X А, |
|
||||
где ф и А обязаны удовлетворять уравнениям |
|
||||
Y |
с2 |
дг |
е© |
(21.4) |
|
|
|||||
И |
|
|
|
|
|
у2д |
1 |
|
_ _1 |
(21.5) |
|
V Л |
сг |
д Р ~ |
гсС1 |
||
|
|||||
и, кроме того, условию |
|
|
|
|
|
V . Л __ _____L |
|
(2 1.6) |
|||
А |
|
сг dt * |
|
||
Найдем теперь решение уравнений (21.4) и (21.5), Для |
|||||
этого надо уметь решать уравнение |
|
|
|||
VN.-4-Ж---*• |
(21-7) |
||||
где величина з (которая называется источником) известна.
Ясно, |
что |
для |
уравнения |
(21.4) |
з |
соответствует р/ео, а |
ф — |
это <р, |
а |
для |
уравнения |
(21.5) |
з |
соответствует /*/е<>с2, |
если |
ф —это Ах, и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физи ческий смысл ф и з.
Там, где р и j равны нулю (это место называется «пусто той»), там потенциалы ф и А и поля Е и В удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; матема тическая форма этого уравнения такова:
147
В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут пред ставлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие » х-направлении г|>==- /(/ — х/с); плоские волны, бегущие вдоль у или вдоль z или в любом другом направлении; сферические волны вида
Ф(*. У, г, 0 = - У - - . |
(21.9) |
(Решения можно записать иначе — например, в виде цилинд рических волн, разбегающихся от оси.)
Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) отно сится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения
(2 1.8) |
всюду, |
кроме |
непосредственной окрестности |
точки |
|
г = 0, где (21.9) представляет собой решение |
полного |
урав |
|||
нения |
(21.7), |
в правой |
части которого стоят |
источники. Д а |
|
вайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник $ в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9).
Предположим, что имеется сферическая волна (21.9), и по глядим, во что она превращается при очень малых г. Тогда
запаздыванием —r/с в д / — г/с) можно пренебречь, |
и по |
скольку функция / плавная, ф превращается в |
|
ф = - ^ - (г-> 0). |
(2 1 .10) |
Итак, ф в точности похоже на кулоново поле заряда, располо женного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ на чала координат и имеющего плотность р;
где Q = jprfV. Такой потенциал <р удовлетворяет уравнению
Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ф из выражения (2 1 .1 0 ) удовлетворяет уравнению
У2ф= - s |
(г-►0), |
(21.11) |
где s связано с / формулой
/ - 4я
148
при
S = JirfK .
Единственная разница в том, что в общем случае s, а, стало быть, и S может оказаться функцией времени.
Далее очень важно то, что если ф удовлетворяет (21.11) при малых г, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость ф от г типа 1/г приводит к тому, что пространственные производные ста новятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные /(/) по времени.] Так что, когда г стремится к нулю, множителем <?2ф/дР в уравнении (21.7) по сравнению с можно пренебречь, и (21.7) стано вится эквивалентным уравнению (2 1.1 1 ).
Подытоживая, можно сказать, что если функция источника s(t) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна
|
|
(21. 12) |
то решение уравнения (21.7) |
имеет вид |
|
♦ <*. И. *, 0 |
— д - * (<7 ' М . |
(2113) |
Влияние слагаемого с <Э2ф/д7* в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания (/ — r/с) в потенциале кулонова типа.
§ 3. Общее решение уравнений Максвелла
Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рассредоточенного источника? Ну, это решить легко; вся кий источник э(лг, у, z, t) можно считать состоящим из суммы многих «точечных» источников, расположенных поодиночке в каждом элементе объема dV и имеющих силу s(x,y,z,t)dV. Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет со бой суперпозицию полей от всех таких элементов источника.
Используя результаты предыдущего параграфа [см. (21.13)], мы получим, что в момент / поле с/ф в точке (.«i, уи 2 i) [или, короче, в точке (7)], создаваемое элементом источника sdVв точке (лга, у2, z2) [или, короче, в точке (2 )], выражается фор мулой
с(ф(1 , t) = |
s(2, t — rn /c) dVj |
|
4яг12 |
где Г)2 — расстояние от (2 ) до (/). Сложение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей
14»
области, где s ф 0, так что мы имеем
(21.14)
Иначе говоря, поле в точке (/) в момент времени t представ ляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в мог мент t — Ги/с всеми элементами источника, расположенного в точке (2). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников.
Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла. Если подразумевать под • ф скалярный потен циал ф, то функция источника s превращается в р/ео. А мо жно считать, что ф представляет одну из трех компонент век торного потенциала А; тогда s означает соответствующую компоненту j/e o c 2. Стало быть, если во всех точках известна плотность зарядов р(х, у, г, t) и плотность тока \(х, у, г, /), то решения уравнений (21.4) и (21.5) можно выписать не медленно:
<Р (1, Q= $ ~ ^ n 7 j » 'c ~) d V * |
(2U5) |
|
<2U6) |
Поля E и В получатся дифференцированием потенциалов (используются выражения (21.2) и (21.3)]. Кстати, можно про верить явно, что ф и А, полученные из (21.15) и (21.16), дей ствительно удовлетворяют равенству (2 1.6 ).
Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятель ствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцировав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покон чено. И это позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчи тать электрическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с нашей прежней теорией света. Все, что нам остается сделать, — это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из —Уф — dA/dt, диффе ренцируя, найти Е. Мы должны получить формулу (2 1.1 ). Ра боты придется проделать много, но принцип ясен.
Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися за рядами, и многое, многое другое. Все сооружение, воздвигну тое Максвеллом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписы ваем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой.
150