Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

можно разложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

р (/ - 7 ) = р (0 —“ р (0 + и т. д.

и в-том же порядке по г/с

Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р (/) плюс члены порядка (г/с)я и выше [например, Ъ(г/с)гр]. Эти члены при достаточно ма­

лых г (малых настолько, что за время r/с ток р заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на

.те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо бо­ лее похожим на них, чем на поля теории с мгновенным дей­ ствием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, по­ тому что временное запаздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1 /г — к эффек­ ту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (2 1.1 0 . Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источни­ ков, где возникает распространяющаяся волна, Е перпенди­ кулярно к В (и к г), как на фиг. 21.4, и что сВ — Е. Значит,

Е пропорционально ускорению р, как и предсказывалось фор­ мулой (2 1.1 ').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая полу­ чить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли мало­ заметным изменением г в члене с запаздыванием. Для элект­ ростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы 1 /г, умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение че­ ресчур грубо. Надо обратиться к .высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших прибли­ жений, можно поступить иначе--определить скалярный по­ тенциал из равенства (2 1.6 ), используя уже найденное значе­ ние векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна. дАг/дг, поскольку Ах и Av тождественно равны

15в

нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем

*-а=т^ И ' - т)ш + ;£ к <-т)ь

Интегрирование по' / просто убирает надо всеми р по одной точке:

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложен' ному статическому полю, которое, конечно, может существо­ вать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.)

Теперь мы можем из

E = - V q > - £

найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и' прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что р (t — r/c) и его производные по времени зависят от х, у и г через запаз­ дывание г/с] мы получаем

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется про* сто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р* э (21.26) при малых г дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда г велико, то член

с р преобладает над остальными, и электрическое поле про-

157

порцноиаЛьно ускорению зарядов в направлении поперек г и

само направлено вдоль проекции р на плоскость, перпендику­ лярную к г.

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (2 1.17). Конечно, эта формула — более об­ щая; она годится для любого движения, а не только для ма­ лозаметных движений, для которых запаздывание r/с в пра­ дедах всего источника можно считать постоянным [как(21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь не­ которых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с по­ следней частью выражения (21.26). Мы можем теперь пе­ рейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].

§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта

Впредыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вы­ числении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы за­ ново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, дви­ жущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской ско­

ростью). Как только мы получим этот результат, у нас в ру­ ках окажутся электромагнитные свойства электрических за­ рядов во всей их полноте. Даже формулу (21.17) можно бу­ дет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, за­ паситесь терпением!

Попробуем подсчитать в точке (xi,^j, zj) скалярный по­ тенциал ф(1 ), создаваемый точечным зарядом .(вроде элект­ рона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «то­ чечным» зарядом подразумевается очень маленький заря­ женный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(x,y,z). Потенциал q> мо­ жно найти из (21.15):

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают),что ответ состоит в том, что интеграл от р по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

ф(1 . 0 “ 7 — г (неверно).

4ле0 г |2

158

Ф иг. 21.5. «Гочечный» заряд (рассматриваемый как неволь- шов распределение зарядсв в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (/).

Через г'\2 здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (/), измеренный в более раннее время (t—rnjc). Эта формула ошибочна.

так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (/) со ско­ ростью о (фиг. 21.5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше г12 [расстояния от центра заряда до точ­ ки (/)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

(21.30)

i 1

где ^ — расстояние от точки (1) до i-ro элемента объему ДУ,-, а р,-— плотность заряда в ДУ,- в момент /,==(/— г^с). По­ скольку все г,- а, удобно будет выбрать все ДГ,- в виде тон­ ких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к Г|2 (фиг. 2 1.6).

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема AVi некоторой толщины до, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как по­ казано на фиг. 2 1.7, 0. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема ДУ4 надо брать р в свой

Фиг. 21.6. Элемент объема ДVi, используемый для вычисления по­ тенциалов.

159

Ф и г . 21.7. Интегрирование р (/ — r'/c) dV для движущегося заряда.

момент U= (/ — Tile). Но раз заряд движется, то для каж­ дого элемента объема Д К* он окажется в другом месте1

Начнем, скажем, с элемента объема ) на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент t\ — (t — rjc) «задняя» грань заряда пришлась на ДУ] (фиг. 21.7,6). Тогда, вычисляя ргД^г, нужно взять положение заряда в несколько более позднее время h — (/ — Гг!с) и заряд к этому времени сме­ стится в положение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с ДУз, ДИ4 и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

160