ный потенциалы, ибо последние, пожалуй, имеют больший фи зический смысл, чем колебания полей.
Быть может, вы считаете, что остается единственная на дежда на математическую точку зрения. Но что такое мате матическая точка зрения? С математической точки зрения в каждом месте пространства существует вектор электрического поля и Вектор магнитного поля, т. е. с каждой точкой связаны шесть чисел. Способны ли вы вообразить шесть чисел, свя занных с каждой точкой пространства? Это слишком трудно. А можете вы вообразить хотя бы одно число, связанное с каж дой точкой пространства? Я лично не могу! Я способен себе представить такую вещь, как температура в каждой точке пространства. Но это, по-видимому, вообще вещь представи мая: имеется теплота и холод, меняющиеся от места к месту. Но, честное слово, я не способен представить себе число в каждой точке.
Может быть, поэтому стоит поставить вопрос так: нельзя ли представить электрическое поле в виде чего-то сходного с температурой, скажем, похожего на смещения куска студня? Сначала вообразим себе, что мир наполнен тонкой студени стой массой, а поля представляют собой какие-то искривле ния (скажем, растяжения или повороты) этой массы. Вот тогда можно было бы себе мысленно вообразить поле. А после того, как мы «увидели», на что оно похоже, мы можем от влечься от студня. Именно это многие и пытались делать до вольно долгое время. Максвелл, Ампер, Фарадей и другие пробовали таким способом понять электромагнетизм. (Порой они называли абстрактный студень «эфиром».) Но оказалось, что попытки вообразить электромагнитное поле подобным образом на самом деле препятствуют прогрессу. К сожале нию, наши способности к абстракциям, к применению прибо ров для обнаружения поля, к использованию математических символов для его описания и т. д. ограниченны. Однако'поля в известном смысле — вещь вполне реальная, ибо, закончив возню с математическими уравнениями (все равно, с иллю страциями или без, с чертежами или без них, пытаясь пред ставить поле въяве или не делая таких попыток), мы все же можем создать приборы, которые поймают сигналы с косми ческой ракеты или обнаружат в миллиарде световых лет от нас галактику, и тому подобное.
Вопрос о воображении в науке наталкивается зачастую на непонимание у людей других специальностей. Они прини маются испытывать наше воображение следующим способом. Они говорят: «Вот перед вами изображены несколько людей в некоторой ситуации. Как вы представляете, что с ними сей час случится?» Если вы ответите: «Не могу себе представить», они могут счесть вас за человека со слабым воображением.
136
Они проглядят при этом тот факт, что все, что допускается
воображать в науке, должно согласовываться со всем прочим, чтд нам известно: что электрические поля и волны, о которых мы говорим, это не просто удачные мысли, которые мы вы зываем в себе, если нам этого хочется, а идеи, которые обя заны согласовываться со всеми известными законами физики. Недопустимо всерьез воображать себе то, что очевидным образом противоречит известным законам природы. Так что наш род воображения —весьма трудная игра. Надо иметь достаточно воображения, чтобы думать о чем-то никогда прежде не виденном, никогда прежде не слышанном. В тоже время приходится, так сказать, надевать на мысли смири тельную рубашку, ограничивать их условиями, вытекающими из наших знаний о том, какому пути на самом деле следует природа. Проблема создания чего-то, что является совер шенно новым и в то же время согласуется со всем, что мы видели раньше, — проблема чрезвычайно трудная.
Но раз уж зашла Об этом речь, я хочу остановиться на том, в состоянии ли мы себе представить красоту, которую мы не можем видеть. Это интересный вопрос. Когда мы глядим па радугу, она нам кажется прекрасной. Каждый, увидав ее, воскликнет: «О радуга!» (Смотрите, как научно я подхожу к вопросу. Я остерегаюсь именовать что-то восхитительным, пока нет экспериментального способа определить это.) Ну, а как мы описывали бы радугу, если бы были слепыми? А ведь мы слепы, когда изменяем коэффициент отражения инфракрасных лучей от хлористого натрия или когда гово рим о частоте волн,'пришедших от некоторой невидимой глазу галактики. Тогда мы чертим график, рисуем диаграмму. К примеру, для радуги подобным графиком была бы зависи мость интенсивности излучения от длины волны, измеренная спектрофотометром под всевозможными углами к горизонту. Вообще говоря, подобные измерения должны были бы приво дить к довольно пологим кривым. И вот в один прекрасный день кто-то обнаружил бы, что при какой-то определенной погоде, под некоторыми углами к горизонту спектр интенсив ности как функция длины волны начал себя вести странно — у него появился пик. Если бы угол наклона прибора чуть-чуть изменился, максимум пика перешел бы от одной длины вол ны к другой. И вот через некоторое время в физическом жур нале для слепых появилась бы техническая статья под назва нием «Интенсивность излучения как функция угла при неко торых метеоусловиях». В этой статье был бы график типа, показанного на фиг. 20.5. «Автор заметил, — говорилось бы, быть может, в статье, — что под большими углами основная часть радиации приходится на длинные волны, а под мень шими максимум излучения смещается к коротким волнам»'.
137
Ф и г. 20.5. Зависимость ин• тенсивности электромагнитных волн от длины волны под тремя углами (отсчитываемыми от направления, противополож ного направлению на Солнце).
Доступно н а б лю д е н и ю ли ш ь в опрш д елен н ы х м ет еорологических уело • ви ях.
(Ну, а мы бы сказали, что под углом 40° свет преимуще ственно зеленый, а под углом 42°— краснйй.)
Но находите ли вы график, приведенный на фиг. 20.5, вос хитительным? В нем ведь содержится существенно больше различных деталей, чем мы в состоянии постичь, когда ви дим радугу: наши глаза не могут схватить доподлинную форму спектра. А вот глазам радуга все же кажется восхи тительной. Хватает ли у вас воображения, чтобы в спект ральных кривых увидеть всю ту красоту, которую мы видим, смотря на радугу? У меня — нет.
Но представим себе, что у меня имеется график зависи мости коэффициента отражения кристаллов хлористого нат рия от длины волны в инфракрасном участке спектра и от угла. Я могу вообразить себе, как это представилось бы моим глазам, обладай они способностью видеть в инфракрасном свете. Должно быть, это был бы какой-то яркий, насыщен ный «зеленый цвет», на который накладывались бы отраже ния от поверхностей «металлически-красных» тонов. Это вы глядело бы поистине великолепно, но я не знаю, способен ли я, взглянув на график коэффициента отражения NaCI, снятый на каком-то приборе, сказать, что он столь же прелесте».
Но, с другой стороны, хоть мы и не можем видеть красоту тех или иных частных измерений, мы можем утверждать, что постигаем своеобразную красоту уравнений, описывающих всеобщие физические законы. Например, в волновом уравне нии (20.9) очень красива та правильность, с какой в нем рас положены х, у, г и /. И эта приятная симметрия появления х, у, z, I намекает на ту величественную красоту, которая таится в четырех равнозначных координатах, в возможности того, что у пространства есть четырехмерная симметрия, в воз можности проанализировать ее и развить специальную теорию относительности. Так что существует еще интеллектуальная красота, ассоциируемая с уравнениями.
§ 4. Сферические волны
Мы видели, что существуют решения волнового уравне ния, отвечающие плоским волнам, и что любая электромаг нитная волна может быть описана как суперпозиция многих
ш
плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее опи сывать волновое поле в другой математической форме. Я хо тел бы сейчас разобрать теорию сферических волн —волн, которые соответствуют сферическим поверхностям, расходя щимся из некоторого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн —это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распространяются они во всех трех измерениях.
Прежде чем начать описание сферических волн, немного займемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния г точки от начала коорди нат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ф(г), где под г подразумевается
г = у * 2 + tf + z2,
т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функции ф(г) удовлетворяют волновому уравнению, нам по надобится выражение для лапласиана ф. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ф по х, по у и по 2 . Через ф'(г) мы обозначим первую производную ф по г, а через ф"(г) — вторую.
Сначала найдем производные по х. Первая производная равна
дф(г) |
ф'(г) |
дг |
дх |
дх ‘ |
Вторая производная по х равна
дх2 |
^ V д х ) *" ^ V. дх2 ) ’ |
Частные производные г по х можно получить из
дг _ х |
& г |
I |
( . |
х2 \ |
|
г ' |
дх2 ~ |
г |
I / |
г2 ) |
‘ |
так что вторая производная ф по х принимает вид
а2Ф _ |
JC2 |
4>"+ т ( |
(20.28) |
|
дх2 |
г2 |
|||
|
Точно так же и
и
<Э2ф dzt
У2
г- * " + т ( « - ■ $ ) *
Г Г + - Н
(20.29)
(20.30)
Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоми ная, что х2+ У2+ г2 = г2, получаем
Ф2ф(г) = ф"(г) + 7 Ф'('). |
(20.31) |
139
Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей форме:
V* » - 7 ■&("»• |
(20.32) |
Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убеди тесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31),
Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические вол ны, то величины, описывающие поля, должны быть функцией как г, так и t. Предположим, что нам нужно знать, какие функции ф(г, /) являются решениями трехмерного волнового уравнения
Ф * (г ,* )~ ? ~ % г * (г ,0 = 0. |
(20.33) |
Поскольку ф(г, t) зависит от пространственных координат только через г, то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку ф зависит также и от i, нужно дифференцирование по г записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в
1 д* , 1 . л 7 * г И > ) - !Г л г 1 » » = 0 .
Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить эго уравнение на г, то получится
(20.34)
Это уравнение говорит нам, что функция гф удовлетворяет одномерному волновому уравнению по переменной г. Исполь зуя часто подчеркивавшийся нами общий принцип, что у одних и тех же уравнений и решения одни и те же, мы при ходим к выводу, что если гф окажется функцией одного только (r — ct), то оно явится решением уравнения (20.34). Итак, мы обнаруживаем, что сферические волны обязаны иметь вид
гф(г, t) = f ( r - ct).
Или, как мы видели раньше, можно в равной степени считать гф имеющим форму
гф = / ( / - - £ ) .
Деля на г, находим, что характеризующая поле величина ф (чем бы она ни была) имеет вид
ф = -— |
♦ |
(20.35) |
140