Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

случаи, чтобы было видно, чего следует ожидать, а уж потом можете переходить к случаям посложней.) Предположим, что величина полей зависит только от х, так что по у и по г поля не меняются. Мы, следовательно, опять рассматриваем плоские волны и должны ожидать, что получатся те же ре­ зультаты, что и в предыдущей главе. И мы действительно по­ лучим в точности те же самые ответы. Вы может спросить: «Но зачем снова делать то же самое?» Это важно, во-первых, потому, что мы не доказали, что найденные нами волны пред­ ставляют собой самое общее решение для плоских волн, и, во-вторых, потому что наши поля произошли от источника тока особого вида. Сейчас мы хотели бы выяснить такой вопрос: каков самый общий вид одномерной волны в пустом пространстве? Мы не узнаем этого, если будем рассматри­ вать тот или иной источник особого вида, нам нужна большая общность. Кроме того, на этот раз мы будем работать не с интегральной формой уравнений, а с дифференциальной. Хотя итог одинаков, это прекрасный случай поупражняться в выкладках и убедиться в том, что не имеет значения, каким путем идти. Вы должны уметь действовать любым путем, по­ тому что, наткнувшись на трудную задачу, вы часто обнару­ живаете, что годится лишь один из многих способов расчета.

Можно было бы прямо рассмотреть решение волнового уравнения для какой-нибудь из электромагнитных величин. Вместо этого мы начнем прямо с начала, с уравнений Макс­ велла для пустого пространства, и вы убедитесь в их тесной связи с электромагнитными волнами. Так что мы отправ­ ляемся от уравнений (20.1), полагая, что в них токи и заряды равны нулю. Они обращаются в

I.V • Е = 0,

II. V X Е = — 4 5 . ,

(20. 12)

III. V B = 0,

IV. c2V X B = - g - .

Распишем первое уравнение покомпонентно:

Решением его является постоянное в пространстве Ех (компо­ нента электрического поля в направлении х). Взглянув на

128

уравнение IV в (20.12) и полагая, что В тоже не изменяется вдоль у и г, вы убедитесь, что Е* постоянно и во времени. Таким полем может оказаться постоянное поле от какого-то заряженного конденсатора вдали от этого конденсатора. Нас сейчас не занимают такие неинтересные статические поля; мы интересуемся лишь динамически изменчивыми полями. Адля

динамических полей £* = 0.

Итак, мы пришли к важному результату о том, что при распространении плоских волн в произвольном направлении

электрическое поле должно располагаться поперек направле­ ния своего распространения. Конечно, у него еще остается возможность каким-то сложным образом изменяться по коор­ динате X.

Поперечное поле Е можно всегда разбить на две компо­ ненты, скажем на у и г. Так что сначала разберем случай наличия у электрического поля только одной поперечной ком­ поненты. Для начала возьмем электрическое поле, направ­ ленное по у, т. е. с нулевой г-компонентой. Ясно, что, решив эту задачу, мы всегда сможем разобрать и тот случай, когда электрическое поле всюду направлено по г. Общее решение можно всегда представить в виде суперпозиции двух таких полей.

Какими простыми стали теперь наши уравнения! Теперь единственная ненулевая компонента электрического поля — это Еу, и все производные (кроме производных по х) тоже равны нулю. Остатки уравнений Максвелла выглядят чрез­ вычайно просто.

Рассмотрим теперь второе из уравнений Максвелла [т. е. II из' (20.12)]. Расписав компоненты rot Е, получаем

первый член потому, что все производные по г равны нулю, а второй потому, что Ег= 0. Единственная не равная нулю

127

Поскольку временные производные как ^-компоненты маг­ нитного поля, так и (/-компоненты магнитного поля равны нулю, то обе эти компоненты суть попросту постоянные поля и отвечают найденным раньше магнитостатическим решениям. Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти постоянные поля и положим Вх и Ву равными нулю.

Кстати, о равенстве нулю ^-компонент поля В мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку дивер­ генция В равна нулю (по третьему уравнению Максвелла),то мы, прибегая при рассмотрении электрического поля к тем же доводам, что и выше, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль х. А раз мы такими однородными полями в наших вол­ новых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы поло­ жить Вх равным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле В, равно как и поле Е, должно быть направлено поперек направления распространения самих волн.

Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только //-компоненту, то магнитное поле имеет только г-компоненту. Значит, Е и В перпендикулярны друг другу. Именно это и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели.

Теперь мы готовы использовать последнее из уравнений

Из шести производных от компонент В только дВг/дх нэ равна нулю. Так что три уравнения просто дают

Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и маг­ нитного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять урав­ нениям (20.16) и (20.18). Эти два уравнения можно объеди­ нить в одно, если первое из них продифференцировать по х, а второе — по t; тогда левые стороны уравнений совпадут

128

Покажем, что f(x — ct) действительно есть решение вол­ нового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной пере­ менной— переменной (х— ct), то мы будем через /' обозна­ чать производную f по. этой переменной, а через /" — вторую производную. Дифференцируя (20.21) по х, получаем

4 * - = п * - с о .

потому что производная от (х — ct) по х равна единице. Вто­ рая производная ф по х равна

Мы убеждаемся, что ф действительно удовлетворяет одно­ мерному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением волнового уравнения является f(x — с/)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути оты­ скать решение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать реше­ ние. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые матема­ тические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть решение, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только увидите уравнение (2 0.2 0), тут же будете пред­ ставлять себе f(x — ct) = ф в качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x2dx у вас сразу всплывает ответ х3/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция ог (х — ct) , но и функция от (х -f ct) . Из-за того что в волновом уравнении с встречается только в виде с2, изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение од­ номерного волнового уравнения — это сумма двух произволь­

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

130