Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Г л а в а

магнитных полей, вытекает из четырех уран-§4. Сферические

121

|е |= с|в!

Ф и г. 20.1. Зависимость электри­ ческого и магнитного полей от х через t сек после того, как была включена заряженная плоскость.

личины полей от х в момент t. С течением времени «волновой фронт» в ct распространяется вдоль х с постоянной ско­ ростью с.

Теперь представим себе такую последовательность собы­ тий. На мгновение мы включаем ток единичной силы, а за­ тем внезапно увеличиваем его силу втрое и поддерживаем его на этом уровне. Как же будут теперь выглядеть поля? Это можно узнать таким образом. Во-первых, надо предста­ вить ток с единичной силой, включенный при / = 0 и больше не менявшийся. Тогда поля при положительных х будут иметь вид, представленный на фиг. 20.2, а. Затем надо задать себе вопрос, что произойдет, если в момент U включить постоян­ ный ток силой в две единицы?

В этом случае поля станут вдвое больше, чем прежде, но отойдут по х только на промежуток c(t — tt) (фиг. 20.2,6). Складывая эти два решения (по принципу суперпозиции), мы получаем., что сумма источников — это ток силой в одну еди­ ницу с момента нуль до момента t\ и ток в три единицы в бо­ лее поздние минуты. В момент / поля меняются вдоль х так, как показано на фиг. 20.2, в.

Возьмем теперь более сложную задачу. Рассмотрим ток, имевший сначала силу в одну единицу, а затем достигший

122

силы в три единицы и выключенный. Каковы будут поля от такого тока? Решение можно получить точно так же, как и раньше, т. е, складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже решали). Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в ми­ нус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от t = 0 до какого-то более позднего момента, скажем, до U, затем ток силой в три единицы до момента k. а потом ток, равный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фиг. 20.3, а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с расстоянием х в данный момент / подоб­ ны изображенным на фиг. 20.3, Ь. Поле в точности отобра­ жает собой ток. Распределение поля в пространстве есть точ­ ное отражение изменений тока со временем, но только нари­ сованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью с, так что по­ лучается ломтик полей, который движется к положитель­ ным х и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по изменению электрического или магнитного поля безошибочно рассказать, как менялся ток в источнике.

Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи со­ шли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство. Получается распределение электрических

имагнитных полей, которое существует независимо от токов

изарядов. Это и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если ну­ жно, представить только что проделанный анализ в строго математической форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источ­ нике, но не в то же время, а в более ранний период [/— (х/с)].

Можно написать

123

Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это урав­ нение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о тео­ рии показателя преломления. Тогда нам нужно было пред­ ставить себе, какие поля создаст слой колеблющихся дипо­ лей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение электрическим полем падающей электромагнит­ ной волны. Задача наша состояла в расчете комбинирован­ ного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющи­ мися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вы­ вода) формулу для полей излучения, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого точечного заряда. Если вы за­ глянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к боль­ шим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.

Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение электрических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т. е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания пе­ редачи не успевают сильно измениться) поля очень похожи на те, которые получились у нас в электростатике или магни­ тостатике. Но если перейти к таким большим расстояниям, что запаздывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер. Так что мы вправе приступить к обсуждению пове­ дения полей в области, где нет ни токов, ни зарядов.

Предположим, что нас интересует род полей, которые мо­ гут существовать в областях, где и р, и j равны нулю. В гл. 18 мы видели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнений для скаляр­ ного и векторного потенциалов:

Если р и j равны нулю, то эти уравнения упрощаются:

124

Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал (р, и каждая компонента векторного потенциала А удовлетво­ ряют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой ф (пси) мы обозначили любую из четырех величин Ф, Ах, Ау, Аг\ тогда нам нужно изучить общие решения урав­ нения

Его называют трехмерным волновым уравнением — трехмер­ ным потому, что функция ф может в общем случае зависеть от х, у и г и следует учитывать изменения по каждой из этих координат. Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа:

Впустом пространстве электрические и магнитные поля Е

иВ тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, по­ скольку В = У X А, дифференциальное уравнение для В мо­ жно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапла­ сиан— это скалярный оператор, то порядок операций вычис­ ления лапласиана и ротора можно переставлять:

V X (V?A) = V2 (V X А) = У2В.

Точно так же можно переставлять и вычисление rot и djdi‘

Из этого мы получаем следующее дифференциальное урав­ нение для В:

Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля В удовлетворяет трехмерному волновому уравнению. Подобно этому, из того факта, что Е = —Уф — dA/dt, следует, что электрическое поле Е в пустом пространстве удовлетворяет трехмерному волновому уравнению

Все наши электромагнитные поля подчиняются одному и тому же уравнению (20.8). Можно еще спросить: каково са­ мое общее решение этого уравнения? Однако прежде, чем решать этот трудный вопрос, сначала посмотрим, что можно сказать в общем случае о тех решениях, в которых по у и по г ничего не меняется. (Всегда сначала беритесь за простые

125