Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы ре шить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все эти вещи имеют реальное практическое значение. Предполо жим, что я взял два проводника в форме цилиндрического кон
денсатора.
<
У внутреннего проводника потен циал равен, скажем, V, а у внеш него— нулю. Пусть радиус внут реннего проводника будет равен а, а внешнего— Ь. Теперь мы мо жем предположить, что распреде ление потенциалов между ними —
любое. Но если мы возьмем правильное значение <р и вычис
лим (et/2) ij (Уф)2^ , то должна получиться энергия системы
V2CV1. Так что с помощью нашего принципа можно подсчи тать и емкость С. Если же мы возьмем неправильное распре деление потенциала и попытаемся этим методом прикинуть емкость конденсатора, то придем к чересчур большому значе нию емкости при фиксированном V. Любой предполагаемый потенциал ф, не точно совпадающий с истинным его значе нием, приведет и к неверной величине С, большей, чем нуж но. Но если неверно выбранный потенциал ф является еще грубым приближением, то емкость С получится уже с хоро шей точностью, потому что погрешность в С— величина вто рого порядка по сравнению с погрешностью в ф.
Предположим, что мне неизвестна емкость цилиндриче ского конденсатора. Тогда, чтобы узнать ее, я могу восполь зоваться этим принципом. Я просто буду испытывать в ка честве потенциала разные функции ф до тех пор, пока не добьюсь наиннзшего значения С. Допустим, к примеру, чю я выбрал потенциал, отвечающий постоянному полю. (Вы, конечно, знаете, что на самом деле поле здесь не постоянно; оно меняется как 1/г.) Если поле постоянно, то это означает, что потенциал линейно зависит от расстояния. Чтобы напря жение на проводниках было каким нужно, функция ф должна иметь вид
Эта функция равна V при г = а, нулю при г = Ь, а между ними имеется постоянный наклон, равный —V/(b — a). Зна чит, чтобы определить интеграл U*, надо только помножить квадрат этого градиента на ео/2 и проинтегрировать по всему
не
объему. Проведем этот расчет для цилиндра единичном длины. Элемент объема при радиусе г равен 2nrdr. Проводя интегрирование, я нахожу, что моя первая проба дает такую емкость:
ь
у CV2(первая проба) = у J |
2ягdr. |
а |
|
Интеграл здесь просто равен |
|
Так я получаю формулу для емкости, которая хотя и недравильна, но является каким-то приближением:
С _ |
Ь + а |
2яе0 |
2 (Ь — а) ' |
Конечно, она отличается |
от правильного ответа С = |
= 2яео/1п(б/о), но в общем-то она не так уж плоха. Давайте попробуем сравнить ее с правильным ответом для нескольких значений b/а. Вычисленные мною числа приведены в следую щей таблице.
|
^истинное |
Сперв, прнбл. |
|
2яе# |
2пе, |
2 |
1,4423 |
1,500 |
4 |
0,721 |
0,833 |
10 |
0,434 |
0,612 |
100 |
0,267 |
0,51 |
1,5 |
2,4662 |
2,50 |
и |
10,492070 |
10,500000 |
Даже когда Ь\а — 2 (а это приводит уже к довольно боль шим отличиям между постоянным и линейным полем), я все еще получаю довольно сносное приближение. Ответ, конечно, как и ожидалось, чуть завышен. Но если тонкую проволочку поместить внутри большого цилиндра, то все выглядит уже гораздо хуже. Тогда поле изменяется очень сильно и замена его постоянным полем ни к чему хорошему не приводит. При bja = 100 мы завышаем ответ почти вдвое. Для малых bfa положение выглядит намного лучше. В противоположном пределе, когда промежуток между проводниками не очень широк (скажем, при b/а = 1,1), постоянное поле оказывается весьма хорошим приближением, оно дает значение С с точ ностью до десятых процента.
А теперь я расскажу вам, как усовершенствовать этот рас чет. (Ответ для цилиндра вам, разумеется, известен, но тот
117
же способ годится и для некоторых других необычных форм конденсаторов, для которых правильный ответ вам можег быть и не известен.) Следующим шагом будет подыскание лучшего приближения для неизвестного нам истинного потен циала ф. Скажем, можно испытать константу плюс экспонен ту ф и т. д. Но как вы узнаете, что у вас получилось лучшее приближение, если вы не знаете истинного ф? Ответ: Под считайте С; чем оно ниже, тем к истине ближе. Давайте про верим эту идею. Пусть потенциал будет не линейным, а, ска жем, квадратичным по г, а электрическое поле не постоян ным, а линейным. Самая общая квадратичная форма, которая
обращается в ф = 0 при г = Ь |
и в ф = |
V при г = а, такова: |
Ф |
|
|
где а — постоянное число. Эта |
формула |
чуть сложнее преж |
ней. В нее входит и квадратичный член, и линейный. Из нее очень легко получить поле. Оно равно просто
Теперь это нужно возвести в квадрат и проинтегрировать по объему. Но погодите минутку. Что же мне принять за а?3аф я могу принять параболу, но какую? Вот что я сделаю: под считаю емкость при произвольном а. Я получу
С
2яе0 Ь — а
Это выглядит несколько запутанно, но так уж выходит после интегрирования квадрата поля. Теперь я могу выбирать себе а. Я знаю, что истина лежит ниже, чем все, что я собираюсь вы числить. Что бы я ни поставил вместо а, ответ все равно по лучится слишком большим. Но если я продолжу свою игру с а и постараюсь добиться наинизшего возможного значе ния С, то это наинизшее значение будет ближе к правде, чем любое другое значение. Следовательно, мне теперь надо по добрать а так, чтобы значение С достигло своего минимума. Обращаясь к обычному дифференциальному исчислению, ч убеждаюсь, что минимум С будет тогда, когда а = —2Ь!(Ь-\-а). Подставляя это значение в формулу, я получаю для наимень шей емкости
СЬг + 4аЬ + аг
2яео |
3(Ь2- а2) * |
Я прикинул, что дает эта формула для С при различных значениях Ь/а. Эти числа я назвал С (квадратичные). При-
118
вожу таблицу, в которой сравниваются С (квадратичные) с С (истинными).
ь |
С,истинное |
С |
а2ЛЕ0
2 |
1,4423 |
1,444 |
4 |
0,721 |
0,733 |
10 |
0,434 |
0,475 |
100 |
0,267 |
0,346 |
1,5 |
2,4662 |
2,4667 |
1,1 |
10,492070 |
10,492065 |
Например, когда отношение радиусов равно 2:1, я полу чаю 1,444. Это очень хорошее приближение к правильному ответу, 1,4423, Даже при больших b/а приближение остается довольно хорошим —оно намного лучше первого приближе ния. Оно остается сносным (завышение только на 10%) даже при bja — 10:1. Большое расхождение наступает только при отношении 100:1. Я получаю С равным 0,346 вместо 0,267. С другой стороны, для отношения радиусов 1,5 совпадение превосходное, а при Ь/а = 1,1 ответ получается 10,492065 вместо положенного 10,492070. Там, где следует ожидать хо рошего ответа, он оказывается очень и очень хорошим.
Я привел все эти примеры, во-первых, чтобы продемон стрировать теоретическую ценность принципа минимального действия и вообще всяких принципов минимума, и, во-вторых, чтобы показать вам их практическую полезность, а вовсе не для того, чтобы подсчитать емкость, которую мы и так вели колепно знаем. Для любой другой формы вы можете испро бовать приближенное поле с несколькими неизвестными па раметрами (наподобие а) и подогнать их под минимум. Вы получите превосходные численные результаты в задачах, ко торые другим способом не решаются.
Добавление, сделанное после лекции
Мне не хватило времени на лекции, чтобы сказать еще об одной вещи (всегда ведь готовишься рассказать больше, чем успеваешь). И я хочу сделать это сейчас. Я уже упоминал о том, что, готовясь к этой лекции, заинтересовался одной за дачей, Мне хочется вам рассказать, что это за задача. Я за метил, что большая часть принципов минимума, о которых шла речь, в тЬй или иной форме вытекает из принципа наи меньшего действия механики и электродинамики. Но суще ствует еще класс принципов, оттуда не вытекающих. Вот при мер. Если сделать так, чтобы токи протекали через массу ве
119
щества, удовлетворяющего закону Ома, то токи распреде лятся в этой массе так, чтобы скорость, с какой генерируется в ней тепло, была наименьшей. Можно также сказать иначе (если температура поддерживается постоянной): что скорость выделения энергии минимальна. Этот принцип, согласно клас* сической теории, выполняется даже в распределении скоро стей электронов внутри металла, по которому течет ток. Рас пределение скоростей не совсем равновесно [см. гл. 40 (вып. 4), уравнение (40.6)], потому что они медленно дрейфуют в сто роны. Новое распределение можно найти из того принципа, что оно при данном токе должно быть таково, что развиваю щаяся в секунду за счет столкновений энтропия уменьшится настолько, насколько это возможно. Впрочем, правильное описание поведения электронов должно быть квантовомеха ническим. Так вот в чем состоит вопрос: должен ли этот са мый принцип минимума развивающейся энтропии соблю даться и тогда, когда положение вещей описывается кванто вой механикой? Пока мне не удалось это выяснить.
Вопрос этот интересен, конечно, и сам по себе. Подобные принципы возбуждают воображение, и всегда стоит попробо вать выяснить, насколько они общи. Но мне необходимо эго знать и по более практической причине. Вместе с несколькими коллегами я опубликовал работу, в которой с помощью кван товой механики мы примерно рассчитали электрическое со противление, испытываемое электроном, пробирающимся сквозь ионный кристалл, подобный NaCI. [Статья об этом была напечатана в Physical Review, 127, 1004 (1962) и назы вается «Подвижность медленных электронов в полярных кри сталлах».] Но если бы существовал принцип минимума, мы могли бы воспользоваться им, чтобы сделать результат на много более точным, аналогично тому как принцип минимума емкости конденсатора позволил нам добиться столь высокой точности для емкости, хотя об электрическом поле наши све дения были весьма неточными.