Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

обозначим через S. Так как по предыдущему замечанию р(В) = 1 – р( В ) и В = S, то р(В) = 1 – р(S). Из упомянутого выше примера следует, что

откуда следует, что вероятность искомого события В равна:

р(В) = 1 – (1– 3651 )(1– 3652 ) … (1– 36522 ) ≈ 0,507.

Заметим, что у группы из 22 студентов вероятность того, что, по крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают, равна 0,475, т. е. меньше 1/2, а для 23 студентов уже больше 1/2.

Пример. Рассмотрим испытание, в котором бросается две монеты. Чему равна вероятность выпадения хотя бы одного орла?

Пусть событие A = {выпал орел при подбрасывании первой монеты}, а событие B = {выпал орел при подбрасывании второй монеты}. Требуется найти вероятность события A B = {выпал хотя бы один орел при подбрасывании двух монет}. Легко видеть, что p(A) = 1/2, p(B) = 1/2, но p(A B) ≠ 1, так как событие A B не является достоверным. В рассматриваемом случае p(A B) ≠ p(A) + p(B), поскольку события A и B не являются несовместными, т. е. они совместны и A ∩ B ≠ . При бросании двух монет могут произойти следующие 4 события: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Благоприятными для события A B являются 3 события, следовательно, p(A B) = 3/4.

Опишем эту ситуацию в общем случае. Пусть n — число всех равновозможных элементарных событий, которые попарно несовместны в данном испытании, m — число элементарных событий, благоприятных событию A, а k — число элементарных событий, благоприятных событию B. Допустим, что события A и B совместны, т. е. могут происходить одновременно, и среди m + k событий содержится l событий, благоприятных событию A и событию B. По определению классической вероятности p(A) = m/n, p(B) = k/n и p(A ∩ B) = l/n. Нетрудно видеть, что событию A B благоприятствует m + k – l равновозможных элементарных событий, поэтому

142

В частности, в рассмотренном примере с монетами, где p(A) = 1/2, p(B) = 1/2, p(A ∩ B) = 1/4, имеем p(A B) = 1/2 + 1/2 – 1/4 = 3/4.

Для полноты изложения выведем формулу для вероятности объединения двух событий в общем случае, т. е. не обязательно несовместных. При этом мы будем опираться на некоторые соотношения из теории множеств.

Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для вероятности объединения (суммы) событий вида:

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).

Доказательство. Если события A и B несовместны, т. е. A ∩ B = , то тогда p(A ∩ B) = p( ) = 0 и доказываемое равенство примет вид p(A B) = p(A) + p(B). Поэтому необходимо исследовать случай совместных событий A и B, т. е. когда A ∩ B ≠ . Рассмотрим равенства для множеств A, B и A B (рис. 2.5) следующего вида:

A = (A \ B) (A ∩ B), B = (B \ A) (A ∩ B),

A B = (A \ B) (A ∩ B) (B \ A).

Они были рассмотрены в разделе 1.3 «Операции над множествами» первой главы.

Напомним, что пересечение множеств A \ B и B \ A равно пустому множеству (см. раздел 1.3). Покажем, что пересечение множеств A ∩ B и A \ B, а также A ∩ B и B \ A, тоже равно пустому множеству. Для этого воспользуемся свойством дистрибутивности пересечения относительно разности для множеств, рассмотренным в разделе 1.4 «Основные свойства операций над множествами», а именно:

C ∩ (D \ E) = (C ∩ D) \ (C ∩ E).

Полагая C = A ∩ B, D = A и E = B, получим следующее равенство

(A ∩ B) ∩ (A \ B) = (A ∩ B ∩ A) \ (A ∩ B ∩ B) = (A ∩ B) \ (A ∩ B) = .

143

Аналогично, полагая C = A ∩ B, D = B и E = A, получим, что (A ∩ B) ∩ (B \ A ) = . Таким образом, A \ B, A ∩ B и B \ A — попарно непересекающиеся множества. Поэтому по аксиоме аддитивности имеем:

p(A) = p((A \ B) (A ∩ B)) = p(A \ B) + p(A ∩ B), p(B) = p((B \ A) (A ∩ B)) = p(B \ A) + p(A ∩ B),

наконец

p(A B) = p((A \ B) (A ∩ B) (B \ A)) = p(A \ B) + p(A ∩ B) + p(B \ A).

Непосредственно из этих равенств следует, что

p(A) + p(B) = (p(A \ B) + p(A ∩ B)) + (p(B \ A) + p(A ∩ B)) =

= (p(A \ B) + p(A ∩ B) + p(B \ A)) + p(A ∩ B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B).

Откуда получаем искомое равенство вида p(A ∩ B) = p(A) + p(B) –

– p(A ∩ B), т. е. вероятность объединения (суммы) любых двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Пример. Бросают две игральные кости. Какова вероятность выпадения хотя бы одной шестерки?

Пусть событие A = {выпадение 6 на первой кости} и событие B = {выпадение 6 на второй кости}. Вероятность p(A B) можно вычис-

лить в силу предыдущего утверждения по формуле p(A B) = p(A) + + p(B) – p(A ∩ B). Очевидно, что p(A) = 1/6, p(B) = 1/6, p(A ∩ B) = 1/62 =

= 1/36, поэтому p(A B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.

Например, для построения алгоритма работы вероятностного ав-

томата, распознающего устную речь, приходится вычислять вероят-

ность совпадения хотя бы одной из словоформ обрабатываемого текста с соответствующей лексемой, заданной в словаре автомата.

Чему равна вероятность того, что хотя бы одно из двух выбранных слов текста будет местоимением ОН? Обозначим через событие A = {первое появление местоимения ОН}, а через событие B = {второе появление местоимения ОН}. События A и B совместны, так как можно одновременно извлечь слово ОН из первого и второго отрывков. Согласно данным частотного словаря статистическая вероятность местоимения ОН равна 0,0099. Следовательно, в силу последнего утверждения

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) =

= 0,0099 + 0,0099 – 0,0099 0,0099 ≈ 0,02.

144

Формулу для вероятности объединения двух совместных событий можно обобщить на объединение любого числа событий.

Замечание. Для случайных событий A1, A2, …, An справедлива следующая фор-

мула для вероятности объединения (суммы) событий:

Покажем, например, как доказать это равенство для n = 3, которое в этом случае для событий A, B и C примет вид

р(A B C) = р(A) + р(B) + р(C) –

– p(A ∩ B) – p(A ∩ C) – p(B ∩ C) + p(A ∩ B ∩ C).

Воспользуемся свойством ассоциативности операции объединения множеств (см. раздел 1.4) и сведем объединение трех случайных событий к объединению двух событий, т. е. A B C = (A B) C. Используя последнее утверждение о вероятности объединения двух событий и свойство дистрибутивности, получим

р(A B C) = р((A B) C) = р(A B) + р(C) – р((A B) ∩ C) =

= р(A B) + р(C) – р((A ∩ C) (B ∩ C)).

Применяя утверждение о вероятности объединения дважды для событий A и B, а также для событий A ∩ C и B ∩ C, учитывая, что (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C, окончательно получим

р(A B C) = [р(A) + р(B) – p(A ∩ B)] + р(C) –

–[p(A ∩ C) + p(B ∩ C) – р((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))] =

=р(A) + р(B) + р(C) – p(A ∩ B) – p(A ∩ C) – p(B ∩ C) + p(A ∩ B ∩ C).

Вкачестве иллюстрации общей формулы для вероятности объединения любого числа событий рассмотрим следующий пример, известный как задача о совпадениях,

вслучае, когда р(A1) = р(A2) = … = р(An), р(A1 ∩ A2) = р(A1 ∩ A3) = … = р(An-1 ∩ An) ,

и т. д.

Пример. На отдельных одинаковых карточках написаны числа 1, 2, …, n, которые затем раскладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы одно из чисел окажется на месте с таким же номером?

Под раскладыванием карточек в случайном порядке будем понимать все возможные перестановки карточек как равновозможные исходы. Поэтому число всех исходов испытания равно числу перестановок Pn = n!. Пусть событие Ai = {карточка с номером i окажется на месте с номером i}, тогда событие A1 A2 … An = {хотя бы у одной карточки ее номер совпадет с номером места}. Для нахождения вероятности интересующего нас события в силу предыдущего замечания необходимо вычислить вероятности р(Ai), р(Ai ∩ Aj), …, р(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An). Так как в событии Ai карточка с номером i находится на месте с номером i, а остальные n–1 карточек могут как угодно раскладываться на оставшихся n–1 местах, то тогда число благоприятных исходов для события Ai равно числу перестановок Pn–1 = (n – 1)!. Так как в событии

145

Ai ∩ Aj у двух карточек их номера i и j совпали с соответствующими номерами мест, то число благоприятных исходов для события Ai ∩ Aj равно числу перестановок Pn–2 = = (n – 2)! и т. д., когда, наконец, для события A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An останется единственный благоприятный исход. Поэтому для вероятностей соответствующих событий:

р(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = n1! .

Используя формулу для вероятности объединения событий A1 A2 … An из последнего замечания и приводя в ней подобные члены, получим

Заметим, что для больших n вероятность р(A1 A2 … An) ≈ 0,63.

Известны различные шуточные варианты этой задачи. Вот один из них: Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо из трех будет получено своим адресатом, если адреса на конвертах написаны в случайном порядке?

Искомая вероятность для n = 3 равна:

Мы определили ранее вероятность события как некоторую числовую характеристику возможности его наступления. Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не за-

висит ни от каких дополнительных условий, кроме условий испытания.

В ряде случаев приходится рассматривать вероятность некоторого случайного события A, которая зависит от того, произошло или не произошло другое случайное событие B. В таком случае говорят, что событие A зависит от события B, а вероятность появления события A называют условной вероятностью. Условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, обозначается p(A B), а если событие

В не произошло, то обозначается p(A B ), где B = U \ B.

Прежде чем давать точное определение условной вероятности, рассмотрим следующий пример. Пусть из урны, в которой находится 10 белых и 5 черных шаров, вынимается наудачу один за другим 2 шара. Рассмотрим событие B = {первый вынутый шар белый} и событие A = {второй вынутый шар белый}. Очевидно, что p(В) = 10/15 = 2/3. Вероятность события A в этом испытании зависит от того, произошло со-

146