Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

бытие B или противоположное событие B . Если событие B произошло, то среди оставшихся 14 шаров только 9 белых и поэтому вероятность события A будет равна 9/14. Если событие B не произошло, а произошло противоположное событие B , т. е. первый шар оказался черным, то среди оставшихся 14 шаров будет 10 белых и поэтому вероятность события A в этом случае равна 10/14 = 5/7. Таким образом, вероятность события A зависит от того, произошло или не произошло событие B, т. е. это условная вероятность и p(A B) = 9/14, p(A B ) = 5/7.

Пример. Пусть множество элементарных событий состоит из n равновозможных элементарных событий, событию А благоприятствует m исходов испытания, событию В — l исходов и событию A ∩ B — r исходов. Найдем условные вероятности p(A B) и p(В А).

Понятно, что r ≤ m и r ≤ l. Заметим, что p(А) = mn > 0, p(B) = nl > 0, p(A ∩ B) = nr . Если произошло событие B, то произошло одно из l эле-

ментарных событий, событие А произойдет только тогда, когда произойдет одно из элементарных событий, составляющих событие A ∩ B. Поэтому

В частности, на основании последних формул можно записать, что

(A ∩ B) = p(В)p(A B) = p(А)p(В А).

В этом примере рассмотрен промежуточный случай, когда A ∩ B ≠ , т. е. когда события совместны. Рассмотрим более простые случаи. Когда A ∩ B = , т. е. события несовместны, то ясно, что если событие В произошло, то тогда событие A произойти не может, следовательно, его условная вероятность равна 0, так как

p(A B) = p(A ∩ B) / p(В) = 0 / p(В) = 0.

Другой простой случай. Когда справедливо включение В A, тогда если событие В произошло, то событие A тоже произошло, т. е. в этой ситуации событие A играет роль достоверного события и его условная вероятность равна 1, так как

p(A B) = p(A ∩ B) / p(В) = p(В) / p(В) = 1.

147

Пример. Грани игральной кости 1, 2, 3 заклеены красной бумагой, а грани 4, 5, 6 — черной. При бросании кости выпала черная грань. Какова вероятность того, что на этой грани стоит четное число?

Пусть в этом испытании событие А = {выпало четное число очков} и событие В = {выпало более чем 3 очка}. Тогда p(В) = 3/6 = 1/2 и p(A ∩ B) = 2/6 = 1/3. Поэтому в силу предыдущего примера условная вероятность p(A B) равна p(A B) = = (1/3)/(1/2) = 2/3. Для сравнения отметим, что безусловная вероятность события А равна p(А) = 3/6 = 1/2.

Определение условной вероятности. Если вероятность события В не нулевая, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число

p(A B) = p( A ∩B) . p(B)

Отметим, что поскольку вероятность случайного события В величина неотрицательная, т. е. p(В) ≥ 0, то в определении условной вероятно-

сти p(A B) условие p(В) > 0 означает, что p(В) ≠ 0.

В частности, из этого определения следует, что

p(А B ) = p(A ∩ B ) / p( B ).

Например, при бросании игральной кости событие А = {выпало простое число очков} и событие В = {число выпавших очков четно} совместны, A ∩ B ≠ и p(В) > 0. Поэтому можно вычислить условную вероятность p(A B). Так как событию В благоприятствуют три равновозможных исхода опыта, т. е. выпадение трех чисел 2, 4, 6, из них событию А благоприятствует только выпадение числа 2, т. е. событие A ∩ B — это выпадение одного числа 2, то тогда условная вероятность p(A B) = 1/3. Кроме того, так как событию B благоприятствует выпадение трех нечетных чисел 1, 3, 5, а из этих выпадений событию А благоприятствует только выпадение чисел 3 и 5, т. е. событие A ∩ B — это выпадение чисел 3 и 5, поэтому условная вероятность равна p(A B ) = 2/3.

Замечание. Если событию В благоприятствуют l равновозможных исходов испытания и r из них благоприятствуют событию А, то тогда

условную вероятность p(A B) можно вычислить по формуле p(A B) = rl .

148

Это равенство, по существу, было получено в примере перед определением условной вероятности. Действительно, если в рассматриваемом испытании n равновозможных исходов, то в силу заданных условий p(В) = l/n и p(A ∩ B) = r/n. Тогда по определению условной вероятности справедливо равенство p(A B) = (r/n) / (l/n) = r/l.

Пример. Из колоды игральных карт вынимают наугад одну карту, которая оказалась черной масти. Чему равна вероятность того, что вынута карта туз?

Пусть в этом испытании событие А = {вынут туз}, а событие В = {вынута карта черной масти}. Событию В благоприятствуют 18 исходов этого испытания, из них событию А благоприятствуют 2 исхода. Следовательно, искомая вероятность равна p(A B) = 2/18 = 1/9.

Для большей ясности укажем, что p(А) и p(A B) определяют вероятности собы-

тия А по отношению к двум разным пространствам элементарных событий. Если в первом испытании это, например, универсальное множество U, то во втором испытании таким пространством является множество В, т. е. подмножество множества U, так как В U. Событиями во втором испытании служат пересечения событий из первого испытания с множеством В, а соответствующая им вероятность находится путем деления вероятности события A ∩ B в первом испытании, т. е. p(A ∩ B), на вероятность p(В). В принципе условная вероятность не отличается от понятия вероятность. На самом деле, вероятность любого события зависит от некоторых условий, при которых рассматривается его наступление или не наступление, а если условия испытания изменились, то, естественно, меняется и вероятность. Поэтому все аксиомы вероятностей будут справедливы и для условных вероятностей p(A B).

Замечание. В формуле p(A B) выражение, стоящее в скобках, то есть символ A B, не обозначает какого-либо события и отдельно не употребляется.

Из определения условной вероятности и основных свойств вероятности случайного события непосредственно следуют основные свойст-

ва условной вероятности:

1.p(A B) ≥ 0 для любого события А при условии, что произошло событие В;

2.р(U B) = 1 для достоверного события U при условии, что произошло событие В U;

3.p((А В) D) = p(A D) + p(B D) для любых несовместных собы-

тий А и В, т. е. А ∩ В = , при условии, что произошло событие D. Всегда 0 ≤ p(A B) ≤ 1, в частности, p(A B) = 0, если A ∩ B = , т. е.

A ∩ B — невозможное событие, и p(A B) = 1, если В A.

149

Замечание. Если события А1, А2, …, Аn попарно несовместны, т. е. Аi ∩ Аj = при i ≠ j, то тогда для них справедлива формула для услов-

ной вероятности объединения (суммы) событий:

p((А1 А2 … Аn) D) = p(А1 D) + p(А2 D) +…+ p(Аn D).

Покажем, например, как проверить равенство для n = 2, т. е. докажем третье свойство условной вероятности:

p((А В) D) = p(A D) + p(B D)

при условии, что А ∩ В = . Из последнего условия следует, что (А ∩ D) ∩ (B ∩ D) = . В силу свойства дистрибутивности операции пересечения относительно операции объединения множеств (см. раздел

1.4), (A B) ∩ D = (A ∩ D) (B ∩ D), а так как события A ∩ D и B ∩ D

несовместны, то p((A ∩ D) (B ∩ D)) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D). Поэтому по определению условной вероятности имеем

Рассмотрим, как связаны условные вероятности противоположных событий, т. е. между событием А и его дополнением A = U \ A.

Замечание. Из основных свойств условной вероятности следует, что для каждого события А при условии, что произошло событие В U с вероятностью p(В) > 0, верно равенство:

p(A B) = 1 – p( A B).

Действительно, A A = U и А ∩ A = . Из последнего равенства следует, что ((A ∩ В) ∩ ( A ∩ В)) = . Кроме того, для достоверного события U условная вероятность p(U B) = 1. Поэтому по определению условной вероятности и в силу свойства дистрибутивности операций пересечения относительно операции объединения (см. раздел 1.4) имеем

1 = р(U B) = р((A A) B) = р((A A) ∩ B) / р(B) =

=p((A ∩ B) р( A ∩ B)) / р(B) = (p(A ∩ B) + р( A ∩ B)) / р(B) =

=p(A B) + p( A B).

Из этого равенства следует искомое равенство p(A B) = 1 – p( A B). Формулу определения условной вероятности для p(A B), где

р(B) > 0 можно записать в виде р(А ∩ В) = p(B)p(A B) соответственно,

150

если р(A) > 0, формулу определения условной вероятности p(B A) можно записать в виде р(A ∩ B) = p(A)p(B A). Таким образом, имеет место следующее утверждение, относящееся к группе теорем умножения.

Утверждение. Если р(B) > 0 или р(A) > 0, то тогда справедлива

формула для вероятности пересечения (произведения) событий вида:

р(A ∩ B) = р(B)p(A B) или р(A ∩ B) = р(A)p(B A).

Способ вычисления вероятности пересечения двух событий получен с помощью формулы условной вероятности, т. е. вероятность пересече-

ния (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

На практике теорему умножения (или формулу для вероятности пересечения событий) применяют чаще всего вместе с теоремой сложения (или формулой для вероятности объединения событий). При этом событие, вероятность которого требуется найти, стараются представить в виде суммы нескольких попарно несовместных событий. Заметим, что первым систематическим исследованием по «исчислению вероятностей», в котором приводятся правила сложения и умножения вероятностей, был трактат нидерландского механика и математика Христиана Гюйгенса «О рас-

четах при игре в кости или о расчетах при азартной игре». Долгое время эта книга была основным пособием по «элементарной теории вероятности». Рассмотрим на примере одновременное применение указанных теорем.

Пример. Пусть из колоды карт одну за другой наудачу вытягивают две карты. Какова вероятность того, что хотя бы одна из карт будет пиковой масти?

Обозначим через событие A = {первой вытянута карта пиковой масти} и событие B = {второй вытянута карта пиковой масти}. Надо посчитать вероятность события A B = {хотя бы одна из вытянутых карт пиковой масти}. Заметим, что A ∩ B ≠ , т. е. события A и B совместные, поэтому

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B), где p(A ∩ B) = p(A)p(B A).

Пусть в колоде 36 карт. Очевидно, что p(A) = 9/36 = 1/4, поскольку 9 из 36 карт — пиковой масти. Для нахождения условной вероятности p(B A) заметим, что одну пиковую карту вытянули, но не вернули, теперь в колоде 35 карт и из них 8 — пиковой масти, поэтому p(B A) = 8/35. Следовательно, вероятность того, что вытянуты две карты пиковой масти, равна p(A ∩ B) = p(A)p(B A) = (1/4)(8/35) = 2/35.

Этот результат можно получить с помощью формулы задачи о выборке:

= p(A ∩ B) + p( A ∩ B), где A = {первой вытянута карта не пиковой масти}. Очевид-

151