Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

откуда берутся вероятности исходных событий? Они берутся из тех наук, в рамках которых возникают решаемые задачи, и на этом этапе постановки задачи важны не математические, а профессиональные знания в той области науки, к которой относится вероятностная задача.

Сформулируем теперь более общее понимание вероятности чем-то, которое содержится в классическом определении. Поясним сущность проблемы определения вероятности. Речь идет о том, чтобы приписать каждому событию, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания, число, т. е. его вероятность. С по-

мощью этого числа должны характеризоваться шансы события быть реализованы при проведении испытания. Еще Цицерон говорил: «Жизнью правит случай, а не мудрость». Попробуем формализовать это понимание происходящих событий с помощью следующей модели.

Проводится некоторое испытание, имеющее n случайных исходов, т. е. допускающее n элементарных событий A1, A2, …, An. По каким-либо соображениям, например, лингвистическим, физическим или даже чисто субъективным, каждому элементарному событию Ai поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число р(Ai), называемое вероятностью элементарного события Ai, причем эти числа выбраны так, что для их суммы выполняется равенство:

р(A1) + р(A2) + … + р(An) = 1.

Вероятностью события А, составленного из некоторых элементарных событий Ai, называется сумма вероятностей этих элементарных событий:

р(A) = ∑ р(Ai),

i

где суммирование распространяется на все элементарные события, содержащиеся в событии А. В частности, для достоверного события U = A1 A2 … An его вероятность в силу данного определения равна

р(U) = р(A1) + р(A2) + … + р(An) = 1, а невозможное событие имеет вероятность 0, р( ) = 0, поскольку такое событие не содержит ни одного элементарного события.

Советский математик Андрей Николаевич Колмогоров показал, что теорию вероятностей можно развивать на основе аксиом подобно обычной математической теории. В общем случае основные свойства веро-

ятности случайного события, которые принимаются в качестве ак-

сиоматики Колмогорова таковы.

137

1. Аксиома неотрицательности. Для любого события А его вероят-

ность р(А) есть неотрицательное число:

р(А) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события U равна 1:

р(U) = 1.

3. Аксиома аддитивности. Вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:

р(A B) = p(A) + p(B).

Заслуга академика А. Н. Колмогорова состоит не только в том, что он внес «полную ясность в формальное строение теории вероятностей», но и в том, что для этого не понадобилось конструировать какую-либо новую систему формальных понятий, определяемых с помощью аксиом, как это пытались сделать его предшественники. Он сумел использовать для аксиоматизации теории вероятностей готовый раздел математики, называемый «теория меры».

Замечание. Из основных свойств вероятности следует, что если A B, то p(A) ≤ p(B) и для каждого события A имеем 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Действительно, если A B, то тогда B = A (B \ A) (см. раздел 1.3), где события A и B \ A несовместны, так как A ∩ (B \ A) = . Поэтому в силу аксиомы аддитивности p(B) = p(A (B \ A)) = p(A) + p(B \ A), откуда p(B) – p(A) = p(B \ A). А так как вероятность любого события неотрицательна, то p(B \ A) ≥ 0 и, следовательно, p(B) – p(A) ≥ 0 или p(A) ≤ p(B). Второе утверждение следует из первого и того, что A U, тогда p(A) ≤ p(U). Поскольку p(U) = 1 и p(A) ≥ 0, то из предыдущего неравен-

ства получаем 0 ≤ p(A) ≤ p(U) = 1, т. е. 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Напомним, что в теории вероятности два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе и тогда вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме вероятностей. Немецкий математик Рихард Мизес придумал следующий парадокс с теннисистом.

Парадокс Мизеса. Пусть некий теннисист может поехать на турнир либо в Москву, либо в Лондон, причем турниры происходят одновременно. Вероятность того, что он займет первое место в Москве, равна 9/10, а в Лондоне — 6/10, конечно, если он туда поедет. Чему равна вероятность того, что он займет где-либо первое место?

138

Решение: поскольку событие A = {выигрыш турнира в Москве} и событие B = {выигрыш в Лондоне} несовместны, то вероятность события A B = {выигрыш турнира в Москве или Лондоне} равна

р(A B) = p(A) + p(B) = 9/10 + 6/10 = 15/10 = 3/2.

Это противоречит согласно предыдущему замечанию тому, что вероятность любого события, в том числе и события A B, не превосходит числа 1, т. е. 0 ≤ p(A B) ≤ 1. Почему?

Несмотря на очевидную нелепость этого рассуждения, в рамках ак-

сиоматики Колмогорова парадокс с теннисистом решается просто:

вероятности 0,9 и 0,6 относятся к разным пространствам элементарных событий, поэтому сложение вероятностей в данном случае не имеет смысла.

Пример. Студент филологического факультета сдаст зачет по курсу «Основы высшей математики», если по пятибалльной системе получит оценку не ниже 4 баллов. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что студент филфака получает оценку 5 с вероятностью 1/3 и оценку 4 с вероятностью 1/2 ?

Вероятности получения оценок 5 и 4 по курсу «Основы высшей математики» определены из опыта проведения зачетов в предыдущие годы. В этом испытании событие А = {на зачете студент филфака получил оценку 5} и событие B = {на зачете студент филфака получил оценку 4} несовместны. Поэтому в силу аксиомы аддитивности вероятность интересующего нас события A B = {зачет студент филфака сдал} равна:

р(A B) = p(A) + p(B) = 1/3 + 1/2 = 5/6.

Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.

Замечание. Если события A1, A2, …, An попарно несовместны, т. е.

любые два события не могут произойти одновременно, то тогда для них справедливо равенство:

р(A1 A2 … An) = р(A1) + р(A2) + … + р(An).

Покажем, например, как доказать это равенство для n = 3. Напомним, что оно верно для двух событий, т. е. р(A B) = p(A) + p(B). В силу свойства ассоциативности операции объединения множеств (см. раздел 1.4) объединение трех событий A, B и C можно записать в виде объединения двух событий, т. е. A B C = (A B) C. По свойству дистри-

бутивности (см. раздел 1.4) имеем (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C)= = = , так как события A, B, C попарно несовместны и их пересе-

139

чения равны A ∩ C = , B ∩ C = . Следовательно, события A B и C несовместны и поэтому, применяя дважды формулу для вероятности объединения событий, получим

р(A B C) = р((A B) C) = р(A B) + р(C) = p(A) + p(B) + р(C),

т. е.

р(A B C) = p(A) + p(B) + р(C).

Пример. В лотерее 10 000 билетов и установлено 10 выигрышей по 100 000 рублей, 40 выигрышей по 50 000 рублей и 1000 выигрышей по 500 рублей. Какова вероятность выигрыша наудачу по одному билету?

Пусть событие A1 = {выигрыш составил 100 000 рублей}, событие A2 = {выигрыш равен 50 000 рублей} и событие A3 = {выигрыш всего лишь 500 рублей}. Выигрыш по одному билету — событие A1 A2 A3, причем события Ai попарно несовместны. Воспользовавшись классической вероятностью этих событий p(A1) = 10/10 000, p(A2) = 40/10 000 и p(A3) = 1000/10 000, получим в силу последнего замечания, что p(A1 A2 A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) = 0,001 + 0,004 + 0,1 = 0,105.

С античных времен известны слова и предложения, которые читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Это палиндро-

мы (или перевертыши), что в переводе с греческого означает «бегущие назад», «возвращающиеся». Они породили особый литературный жанр — палиндроматику. Каждый палиндромист, переворачивая слова, неизбежно делает множество «открытий», приходя к таким палинромам-

однострокам, как «город дорог», «лапоть топал», «искать такси». Палиндрому отдавали дань Гаврила Державин, Афанасий Фет, Валерий Брюсов, а увлекавшийся математикой поэт Велимир Хлебников написал целое стихотворение «Перевертень», где все строчки можно прочитать в обратном порядке. Но палиндромы — это не только «урна жанру» и не просто литературное развлечение. Понимание законов их образования способствует появлению новых идей в информационных технологиях.

Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе распределения слов по числу букв. Оказалось, что почти все словапалиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1 до 11. Ничего подобного нет среди обычных, т. е. «несимметричных», слов. «Закон нечетности числа букв» распространяется исключительно на буквенно-симметричные словоформы, т. е. на палиндромы. Однако, как утверждает Б. Горобец в статье «Закон нечетности числа букв в русских палиндромах» (Наука и жизнь. М., 2004), это утверждение требует

140

более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число букв.

Простейшее лингвистическое, хотя и явно недостаточное, объяснение события A = {частота симметричных слов с четным и нечетным числом букв в данной выборке разного порядка} можно дать, рассмотрев противоположное событие A = {частота симметричных слов с четным и нечетным числом букв в данной выборке одного порядка}. Однако

статистическая вероятность противоположного события A очень мала, так как среди симметричных слов с четным числом букв существовали бы слова со сдвоенным центром в виде двух одинаковых гласных или согласных, но палиндромов среди них почти нет, хотя таких слов довольно много: веер, леер, пиит, баллон, галлон, зуммер, перрон и т. д.

Установим теперь полезную для приложений связь между вероят-

ностями исходного и противоположного события, т. е. между событи-

ем А и его дополнением A = U \ A. Например, при бросании игральной кости сумма вероятностей события A = {выпадет шестерка} и противо-

положного события A = {шестерка не выпадет} равна единице.

Замечание. Из основных свойств вероятности следует, что для каждого события A верно равенство

p(A) = 1 – p( A ).

Действительно, так как A A = U, A ∩ A = , т. е. события A и A несовместны, и p(U) = 1, то 1 = p(U) = p(A A ) = p(A) + p( A ). Из этого

равенства следует, что p(A) = 1 – p( A ). В частности, так как дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством U, то тогда

р( ) = 1 – p(U) = 1 – 1 = 0.

Рассмотрим частный случай последнего примера из раздела 2.4, из-

вестный как задача о днях рождения.

Пример. В группе обучается 23 студента. Какова вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают?

Определение дней рождения у 23 случайно объединенных в группу студентов можно заменить случайным выбором с возвращением 23 элементов из множества дней в году, т. е. множества {1, 2, …, 365}. Пусть событие В = {хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают}. Будем искать вероятность противоположного события, состоящего в том, что в группе нет студентов, у которых дни рождения совпадают. Противоположное событие В , т. е. все дни рождения студентов группы различны,

141