Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

Пример. В группе студентов из 17 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3 человек в оргкомитет «Дней филфака». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Это типичная задача о выборке, где в условиях предыдущего примера «шары» — это студенты, «белые шары» — девушки, «черные шары» — юноши. Тогда n = 20, m = 17, n – m = 3, k = 3, l = 2, k – l = 1. Следовательно, вероятность события А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} равна

Пример. Из колоды, состоящей из 36 карт, наудачу вытаскивается 6 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется 1 король и 2 дамы?

Для решения этого примера можно применить общую схему задачи о выборке. Общее число всех исходов события А = {среди вытянутых 6 карт окажется 1 король и 2 дамы} равно числу сочетаний C366 . Вытянуть 1 короля из 4, имеющихся в колоде,

можно C41 способами, а 2 дам из 4 соответственно C42 способами. Кроме того, вытягиваются еще 3 карты из 36 – 4 – 4 = 28 карт, не содержащих ни королей, ни дам, что можно сделать C283 способами. Таким образом, согласно комбинаторному принципу умножения число благоприятных исходов для события А равно произведению C41 C42 C283 . Следовательно, искомая вероятность равна

Замечание. Все рассмотренные примеры являются частными случаями урно-

вой схемы.

Например, бросание монеты можно заменить урновой схемой с 2 шарами, которые обозначены буквами О и Р. Вынимание из колоды карт одной карты можно заменить урной с 36 шарами, обозначенной парой знаков (а, в), где а — буквы П (пики), Т (трефы), Б (бубны), Ч (червы), а в — достоинства карты: 6 — шестерка, …, 10 — десятка, 11 — валет, …, 14 — туз. Например, событию А = {вынут туз} соответствует вынимание из урны шара, принадлежащего подмножеству А = {(П, 14), (Т, 14), (Б, 14), (Ч, 14)}, а событию В = {вынута карта червовой масти} соответствует подмножество В = {(Ч, 6), (Ч, 7), …, (Ч, 14)}.

Замечание. Статистическое понимание вероятности состоит в том, что постулируется не симметрия условий проводимого испытания (равновозможность), а беспорядочность.

Например, во многих естественных явлениях мы вообще не находим симметрии подобной правильной кости, т. е. не все события в мире равновозможны. Кроме того,

статистический подход к пониманию вероятности в отличие от классического ис-

ходит из предположения, что испытание, в котором может появиться данное случайное событие, можно идентично воспроизвести хотя бы теоретически любое число раз.

132

Предположение равновозможности позволяет нам использовать комбинатор-

ные принципы, поскольку подсчет вероятностей — это одно из основных приложе-

ний комбинаторики. С учетом этого предположения рассмотрим еще несколько примеров нахождения классической вероятности.

Пример. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность события А = {орел выпадет ровно 3 раза}?

Десятикратное бросание монеты можно рассматривать как упорядоченную последовательность букв, составленную из 10 повторяющихся элементов множества {О, Р}. Поэтому число всех исходов испытания равно числу размещений с повторе-

ниями A210 = 210. Благоприятными для события А исходами будут последовательности, в которых буква О встречается 3 раза, соответственно буква Р — 7 раз. Их число равно числу сочетаний C103 = C107 = 10! / (3! 7!) = (10 9 8) / 3! = 120. В частно-

сти, число благоприятных исходов в этом испытании можно посчитать с помощью формулы числа перестановок с повторениями P 3,7 = 10! / (3! 7!) = C103 . Таким обра-

зом, искомая вероятность:

р(А) = C103 / A210 = 120 / 210 = (15 23) / ( 210) = 15 / 128 ≈ 0,12.

Пример. Игральную кость бросают 10 раз. Какова вероятность события В = {грани, отвечающие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, выпадут соответственно 0, 1, 2, 4, 2, 1 раз}?

Число всех исходов испытания равно числу всех упорядоченных последовательностей цифр, составленных из 10 повторяющихся элементов множества

{1, 2, 3, 4, 5, 6} — это число размещений с повторениями A610 = 610. Благоприятными

для события В исходами будут последовательности, в которых число 1 ни разу не встречается, а числа 2, 3, 4, 5, 6 встречаются соответственно 1, 2, 4, 2, 1 раз. Их число

Пример. Пусть из совокупности, состоящей из n предметов, извлекаются с возвращением k предметов. Какова вероятность события S = {все предметы, составляющие выборку, окажутся различными}?

В данной модели число всех исходов испытания равно числу размещений с повторениями Ank = nk, а число благоприятных исходов для события S равно числу размещений Ank . Отсюда искомая вероятность:

133

Например, вероятность того, что наугад взятый телефонный номер, состоящий из пяти различных цифр, в том числе и начинающий с цифры 0, равна

Замечание. Парадоксально, что весьма легкое определение классической вероятности, вызывающее ассоциацию «вероятность — это дробь» вызывает определенную трудность его понимания, когда начинают действовать с «дробямивероятностями», совершенно не задумываясь о смысле этой «дроби».

Рассмотрим, например, простейший вопрос: Чему равна вероятность одновре-

менного выпадения «орлов» или «решки» при подбрасывании двух монет?

Множество всех исходов этого испытания {(О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р)}. Вместо двукратного бросания монет можно было рассмотреть случайный выбор с возвращением двух элементов из множества {О, Р}. Благоприятных исходов для события А = {обе монеты выпадают одинаково — {О, О}, {Р, Р}}, поэтому искомая вероятность р(А) = 2/4 = 1/2. Означает ли это, что если мы подбросим две монеты четыре раза, то на двух монетах выпадут одновременно «орлы» и «решки» точно два раза? Конечно, нет! Найденная вероятность означает, что если мы подбросим две монеты, например 1000 раз, то можно лишь ожидать, что монеты приблизительно в половине случаев выпадут интересующим нас образом.

Вопросы для самоконтроля

1.Верно ли, что вероятность появления слова ДВА, если наугад выбираются три карточки из пяти с буквами А, Б, В, Г, Д и располагаются в ряд в порядке появления, равна 1/ A53 = 1/(5 4 3) = 1/60 ?

2.Верно ли, что вероятность доставания наудачу двух кубиков с

3. Верно ли, что вероятность появления всех граней при шестикратном бросании игральной кости, равна P6 / A66 = 6! / 66 = 10/648 ?

Знакомство с основами вероятностного мышления необходимо каждому грамотному специалисту-филологу, но, прежде всего, будущему исследователю. Возможностям и путям использования точных методов в литературоведении посвящена книга главы «смоленской филологической школы», профессора В. С. Баевского «Лингвистические, матема-

тические, семиотические и компьютерные модели в истории и теории литературы» (М., 2001). Подводя итог истории литературы XX столетия и открывая перспективы исследований в XXI веке, автор исходит из убеждения, что нет такой сложной проблемы, в которой невозможно продвинуться с помощью математических методов, прежде всего теории вероятностей и математической статистики, а также логики и компьютерного моделирования.

134

ДОПОЛНЕНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

В будущем цифры рассеют мрак. Цифры не умира.

Только меняют порядок, как телефонные номера.

Иосиф Бродский

Внашей жизни достаточно примеров вероятностных предрассудков, обусловленных вероятностной безграмотностью. Например, миллионы людей совершенно серьезно однозначно соотносят себя с одним из 12 знаков зодиака, произвольно толкуя предсказания астрологов, забывая при этом ошибочные и фиксируя в памяти лишь сбывшиеся. Примеры подобного рода можно многократно умножить, поскольку они ка-

ким-то образом связаны с ожиданиями и человеческой психологией. Вполне традиционно представление о том, что «случайность» со-

стоит, прежде всего, в отсутствии «закономерности». Создатель логического обоснования теории вероятностей на базе теории множеств и теории меры академик А. Н. Колмогоров писал: «Применяя теорию веро-

ятностей, мы не ограничиваемся отрицанием закономерности, а делаем из гипотез о случайности наблюдаемых явлений определенные поло-

жительные выводы». Теория вероятностей обычно определяется как математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Классическое определение вероятности исходит из предположения о равновозможности (или равновероятности) элементарных событий. Однако это предположение оправдывается не всегда. Теория вероятностей в самом широком смысле как математическая дисциплина имеет дело с задачами вычисления вероятностей случайных событий, состоящих из совокупностей «элементарных» событий, вероятности которых из-

вестны или постулируются. Правила вычисления вероятностей сложных событий подобны тем, которые употребляются для вычисления площадей и объемов в геометрии. Если вместо слова «событие» подставить слово «множество» и вместо слова «вероятность» — слово «площадь», то тогда задача сводится к сопоставлению множествам подходящих площадей, а это уже раздел теории меры, где слово «мера» означает площадь в применении к довольно сложным множествам.

135

Определение несовместных событий. События, которые не мо-

гут произойти одновременно в рассматриваемом испытании, называются несовместными. События, которые в рассматриваемом испытании могут произойти одновременно, называют совместными.

Заметим, что если A ∩ B = , то события A и B несовместны. Рас-

смотрим теперь утверждения, при помощи которых по вероятности одних случайных событий вычисляются вероятности других случайных событий. Простейшие из этих утверждений можно объединить в группу

теорем сложения.

Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место

теорема сложения вероятностей

р(A B) = p(A) + p(B).

Доказательство. Проведем его для случая классической вероятности. Пусть рассматриваемое испытание имеет n равновозможных исходов. Если событию A благоприятствует m исходов, а событию B — k исходов, то р(A) = m/n и р(B) = k/n. Поскольку события A и B несовместны, т. е. A ∩ B = , то нет исходов, благоприятствующих одновременно событию A и событию B. Следовательно, по комбинаторному принципу сложения событию A B благоприятствует m + k исходов и поэтому

т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Например, при бросании двух игральных костей событие A = {выпало 5 очков} и событие B = {выпало 10 очков} несовместны, т. е. A ∩ B = . Поэтому вероятность события A B = {выпало число очков, кратное 5} можно вычислить в силу предыдущего утверждения по формуле р(A B) = p(A) + p(B). Всего исходов в этом испытании —

это число размещений с повторениями A62 = 36. Благоприятных исходов

для события А четыре — это выпадение в двух бросаниях следующих очков (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), а для события B три благоприятных ис-

хода — это (4, 6), (6, 4), (5, 5). Поэтому р(A B) = 4/36 + 3/36 = 7/36.

Когда мы говорим, что задачей математической теории вероятностей является нахождение одних случайных событий по вероятностям других случайных событий, то при этом предполагается, что имеются некоторые исходные события, вероятности которых уже известны. Но

136