Материал: Дискетный анализ рисковых активов

,      (8.1)

Где  состоит из элементов ,  из элементов , .

Определение. Стационарная последовательность называется регулярной, если

.       (8.2)

Стационарная последовательность называется сингулярной, если

.    (8.3)

Разложение (8.1) позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема. Всякая стационарная в широком смысле последовательность представима в виде суммы

,   (8.4)

где  - регулярная ,- сингулярная последовательности. При этом  и  ортогональны ( ортогональна , для любых  и ).

Действительно, поскольку для любого , то можно использовать (7.17). Причем , следовательно , , следовательно . Ортогональность  и  вытекает из ортогональности  и .

Задача. Доказать, что разложение (8.4) единственное.

Следующая теорема устанавливает связь между регулярной последовательностью и односторонним скользящим средним.

Теорема. Для того, чтобы невырожденная последовательность была регулярной необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде последовательности одностороннего скользящего среднего.

Доказательство. Необходимость. Представим . Поскольку  порождается элементами из  и элементами , и  стационарная и регулярная, то размерность  равна единице. Пусть  ненулевой элемент из . Положим . Теперь для любых фиксированных  и  представим . Отсюда

.         (8.5)

Так как  образуют ортонормированный базис в .

Рассмотрим предел . В силу неравенства  Ряд  сходится в среднеквадратическом смысле. Покажем, что в том же самом смысле существует предел . В силу стационарности достаточно рассмотреть случай . Обозначим через . Поскольку . Слагаемые ортогональны, поэтому . Поэтому предел существует. Для каждого  . Следовательно предел  принадлежит . Так как  - тривиально по предположению, то .

Необходимость. Для любого  , ,  ортогонально , следовательно, ортогонально . В тоже время  образуют базис в . Отсюда  тривиально, а значит  - регулярна.

Из предыдущих теорем вытекает разложение Вольда.

Теорема. Если  - невырожденная последовательность, то

.          (8.6)

Откуда можно получить наилучший линейный прогноз для . Как было показано ранее наилучшим линейным прогнозом для  по прошлым значением  является проекция . Из разложения Вольда следует, что . Отсюда

.          (8.7)

Дисперсия ошибки равна

.         (8.8)

Из (8.8) следует, что если последовательность  - сингулярная, то  и дисперсия ошибки равна нулю (возможно точное предсказание), если  регулярная, то  и . Причем в случае регулярной последовательности , то есть .

Интерес представляет прогноз для регулярной последовательности. Формула

        (8.9)

Дает решение задачи оптимального линейного прогноза, однако, для того, чтобы ей можно было бы воспользоваться необходимо решить следующую задачу. Задана ковариационная функция  или спектральная плотность . Требуется вычислить коэффициенты  и выразить  через .

Рассмотрим решение этой задачи. Как было показано выше, если последовательность представима в виде скользящего среднего, то для такой последовательности существует спектральная плотность . Обратно, если , то существует представление последовательности в виде скользящего среднего. Ограничимся рассмотрением важного для приложений случая

,    (8.10)

где , радиус сходимости степенного ряда  и нули  лежат вне единичной окружности.

Рассмотрим спектральное представление  и

, .      (8.11)

Дисперсия ошибки

.         (8.12)

Таким образом, требуется найти минимум правой части (8.12) по . Покажем, что функция

         (8.13)

доставляет минимум правой части (8.12). Во первых, . Во вторых, для любого скалярное произведение . Действительно,

, так как , для любого .

Разлагая функцию  в ряд Фурье

 получим оптимальный линейный прогноз,

.       (8.14)

Подчеркнем, что из разложения Вольда регулярной последовательности следует, что спектральная плотность допускает представление , где . Обратно, если спектральная плотность допускает представление , где , то разложение Вольда регулярной последовательности . Таким образом, задача представления спектральной плотности и задача разложения регулярной последовательности эквивалентны.

Задача. Доказать, что .

Пример. Рассмотрим последовательность

        (8.15)

График  представлен на рисунке 8.1.

Рис. 8.1 График машинной реализации последовательности

Спектральная плотность последовательности

,       (8.16)

где . Функция . Отсюда , следовательно, прогноз на один шаг

.      (8.17)

На рисунке 8.2 представлены графики последовательности  и .

Рис. 8.1. График машинной реализации последовательности (сплошная линия) и последовательности (пунктирная линия)

. Статистическое оценивание параметров модели

Чтобы решать задачи анализа временных последовательностей, возникающих при описании эволюции стоимости финансовых активов, необходимо уметь оценивать по наблюдаемым значениям параметры модели.

Пусть  - стационарная в широком смысле последовательность с математическим ожиданием  и ковариационной функцией . Возникает задача: как по наблюдениям  значений  получить «хорошие» оценки для и .

Рассмотрим в качестве оценки

Математическое ожидание . Следовательно, оценка является несмещенной. Дисперсия оценки . Отсюда . Используем спектральное представление ковариационной функции . Так как , то . Если , то , и оценка  - состоятельна в среднем квадратическом смысле. Будем считать, что объем выборки наблюдений достаточно большой, чтобы оценка хорошо приближала . Поэтому дальше мы будем считать, что .

В качестве оценки ковариационной функции рассмотрим

.     (9.2)

Математическое ожидание . Следовательно, оценка (2.9) - несмещенная оценка . Предположим, что для каждого  последовательность , с  является стационарной последовательностью. Рассмотрим дисперсию . Аналогично предыдущему для состоятельности оценки в среднеквадратическом смысле необходимым и достаточным условием является стремление к нулю , где  ковариационная функция последовательности . Отметим, что . Если последовательность  является гауссовой последовательностью, то [] из  следует .