Материал: Дискетный анализ рисковых активов

.     (6.1)

Для физически реализуемого устройства значение выходного сигнала зависит только от прошлых значений входного сигнала, то есть от значениями  при . Поэтому импульсная переходная функция физически реализуемого фильтра  при . Следовательно, для физически реализуемого фильтра

. (6.2)

Подадим на вход фильтра стационарную в широком смысле последовательность с ковариационной функцией  и спектральным представлением (5.13). На выходе получим случайную последовательность . Вычислим . Сделаем замену переменных . В результате

    (6.3)

В частности, . Следовательно, для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

      (6.4)

При выполнении (6.4) ряд  будет сходиться в среднеквадратичном смысле и, следовательно, последовательность

,        (6.5)

стационарная в широком смысле последовательность.

Из того, что , следует, что для последовательности справедливо спектральное представление (5.15) со спектральной функцией

.        (6.6)

Функцию

    (6.7)

называют спектральной характеристикой фильтра.

Задача. Доказать, что условие (6.4) эквивалентно , то есть

.     (6.7)

Для ковариационной функции  справедливо представление

,   (6.8)

которое непосредственно вытекает из спектрального представления (5.15).

В частности если на вход фильтра подается белый шум , то есть,

,         (6.9)

то на выходе будет получаться стационарная последовательность со спектральной плотностью

.       (6.10)

По заданной неотрицательной функции  можно найти такую функцию , чтобы выполнялось (6.10). Так как  спектральная плотность, то . Следовательно, . Поэтому функцию  можно представить в виде ряда Фурье (6.7), с коэффициентами . В частности, если , то являются справедливыми равенства:

.    (6.11)

Задача. Доказать (6.11).

Из этих рассуждений вытекает следующая теорема.

Теорема. Если у стационарной в широком смысле последовательности существует плотность , то последовательность можно представить в виде:

.       (6.12)

Доказательство. Пусть . Рассмотрим процесс , независящий от  с . Определим меру , где , и процесс

    (6.13)

Очевидно, что

.         (6.14)

Из (6.14) следует, что  является белым шумом. С другой стороны

.         (6.15)

Из (6.15) вытекает

   (6.16)

Равенство (6.16) доказывает теорему.

Задача. Доказать равенства (6.14) и (6.16).

Замечание. Введение процесса  обусловлено возможностью равенства нулю спектральной плотности . Если  (почти всюду по мере Лебега), то необходимость в процессе  отпадает.

Пусть , , тогда последовательность .

7. Линейные модели финансовых временных последовательностей

Определение. Последовательность , называется последовательностью скользящего среднего, если она представима в виде

.         (7.1)

Если  при , то

  (7.2)

и последовательность называется односторонней последовательностью скользящего среднего. Если к тому же  при , то

  (7.3)

и последовательность называется последовательностью скользящего среднего порядка . На рисунке 7.1 представлена машинная реализация последовательности .

Рисунок 7.1. Машинная реализация последовательности скользящего среднего порядка , с коэффициентами

Из результатов предыдущего параграфа следует, что спектральная плотность последовательности (7.3)

      (7.4)

с .

Задача. Обосновать формулу (7.4).

Определение. Последовательность

        (7.5)

называется последовательностью авторегрессии порядка .

На рисунке 7.2 представлена машинная реализация авторегрессионной последовательности

Рисунок 7.2. Машинная реализация авторегрессионной последовательности: .

Найдем решение уравнения (7.5). Для этого определим оператор сдвига

.   (7.6)

Из (7.6) следует, что . С использованием оператора  уравнение (7.5) примет вид:

,        (7.7)

где единица понимается как тождественный оператор. Рассмотрим многочлен . Тогда , где  - корни многочлена . Отсюда уравнение (7.7) приобретает вид:

,       (7.8)

которое превращается в систему рекуррентных уравнений

          (7.9)

где . Рассмотрим -е уравнение системы (7.9) , которое имеет вид:

.   (7.10)

Введем обозначение . Решение уравнения (7.10)

        (7.11)

Пусть  и для любых  и  , тогда  при . Тогда решение уравнения представляется в виде :

.         (7.12)

Является справедливой теорема.

Теорема. Если корни многочлена  лежат вне единичной окружности, то решение уравнения (7.10) является односторонним скользящим средним.

Доказательство. Для  утверждение теоремы очевидно: , причем  . Пусть оно справедливо для , то есть  , причем . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где причем Доказательство. Для  утверждение теоремы очевидно. Пусть оно справедливо для , то есть , причем  . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где  , причем . Последнее справедливо потому, что последовательность  - свертка последовательностей  и , каждая из которых принадлежит . Отсюда

.      (7.13)

Причем ряд, стоящий в правой части сходится в среднеквадратическом смысле.

Спектральная плотность последовательности

.     (7.14)

Задача. Доказать формулу (7.14).

Пример. Рассмотрим последовательность . Нули многочлена : , лежат вне единичной окружности. Следовательно, последовательность  представима в виде одностороннего скользящего среднего. Рассмотрим , где . Тогда . Отсюда .

.       (7.15)

Называется смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.

Теорема. Если нули полинома  лежат вне единичной окружности, то последовательность  представима в виде скользящего среднего и спектральная плотность последовательности  имеет вид:

,     (7.16)

где .

Задача. Доказать теорему.

. Линейный прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей

Пусть  - стационарная в широком смысле последовательность с ковариационной функцией  и нулевым математическим ожиданием. Обозначим через  и через , где . Пусть . Для любого элемента  обозначим через  проекцию  на подпространство . Соответственно  - проекция  на . Каждый элемент , причем . Таким образом,