Материал: Дискетный анализ рисковых активов

Определим случайную меру для суммы непересекающихся интервалов :

    (5.4)

Рассмотрим алгебру , порожденную полуоткрытыми интервалами . Соотношение (5.4) определяет элементарную стохастическую меру на . Напомним, что элементарной стохастической мерой называется комлекснозначная функция , определенная для  и , если

)        ,  ;

)        для любых непересекающихся  ;

)        для любых непересекающихся , что  .

) для любых непересекающихся  и  .

Задача. Доказать выполнение 1)-4) .

Определим функцию

. (5.5)

Как легко показать, является конечной мерой, и, следовательно, по теореме Каратеодори может быть продолжена на  , где  - минимальная  - алгебра, содержащая (борелевская  - алгебра). Эту меру мы будем обозначать  и называть структурной функцией элементарной стохастической меры .

Итак, перейдем к построению интеграла. Пусть

.    (5.6)

Для каждой такой функции определим интеграл:

.   (5.7)

Отметим, если , то

.   (5.8)

Пусть  - гильбертово пространство комплеснозначных функций со скалярным произведением . Таким образом, для любых функций вида (5.7) в силу (5.8) . Это соотношение является ключевым при определении интеграла.

Пусть , тогда существует последовательность функций вида (5.6), что  при . Тогда  при . То есть последовательность  является фундаментальной. Из полноты гильбертова пространства  следует существование случайной величины , что . Ее естественно назвать интегралом от функции  по стохастической мере . Естественно использовать для этой случайной величины интегральную запись .

Отметим основные свойства стохастического интеграла:

)        ;

)        , где  и - константы;

)        если , то .

Задача. Доказать свойства 1)-3).

.  (5.4)

Задача. Доказать

1)      Если , то .

)        Если , то .

)        .

)        Если , то  при .

)        Если , то .

Пусть  ковариационная функция стационарной в широком смысле последовательности . Является справедливой теорема.

Теорема (Герглотц). Существует конечная мера на (- борелевская  - алгебра подмножеств интервала ) , , что для любого

.      (5.5)

Обозначим через . В этом обозначении

.       (5.6)

Если  - абсолютно непрерывная функция:  , то

     (5.7)

Из (5.6) следует, что если , то

.        (5.8)

Функция  называется спектральной функцией, функция  называется спектральной плотностью.

Если последовательность  - вещественнозначная, то

,

если  - абсолютно непрерывная функция, то

.   (5.9)

Пусть  - стационарная в широком смысле последовательность, тогда из теоремы Герглотца существует представление (5.6).

Пусть  - гильбертово пространство комплескснозначных функций со скалярным произведением  .

Обозначим через  - линейное многообразие, порожденное функциями . Отметим, что - конечная мера на . Отсюда замыкание  совпадает с .

Рассмотрим линейное многообразие , порожденное случайными величинами , и (замыкание в среднеквадратичном смысле). Построим изоморфизм .

) .

) (предполагается, что только конечное число коэффициентов не равно нулю).

Отметим, что , аналогично

. (5.10)

В частности,

    (5.11)

3) Пусть , тогда существует последовательность  отсюда и из (5.11) следует, что последовательность  является фундаментальной последовательностью, следовательно, существует . Справедливо и обратное. Положим , где  и , рассмотренные выше элементы.

Задача.

Доказать, что построенное отображение , является изоморфизмом, сохраняющим скалярное произведение.

Рассмотрим . Определим процесс

.     (5.12)

Задача. Доказать, что процесс, определенный формулой (5.12) является процессом с ортогональными приращениями.

Пусть . Покажем, что . Рассмотрим последовательность  простых функций, сходящуюся к , тогда последовательность  сходится к . С другой стороны . Кроме этого последовательность  сходится к . Следовательно, .

Возьмем функцию , . С другой стороны . Следовательно,

.  (5.13)

Формула (5.13) называется спектральным представлением стационарной в широком смысле последовательности .

Задача.

Доказать, что .

Пусть  - стационарная в широком смысле последовательность, состоящая из действительных случайных величин. Тогда из (5.13) следует, что . Отсюда, .

Задача. Представим  в виде . Пусть . Доказать, что .

Задача. Доказать

.       (5.14)

Пусть . Структура таких случайных величин определяется следующей теоремой.

Теорема. Если , то найдется такая функция , что

.         (5.15)

Доказательство. Поскольку , то найдется последовательность , вида , предел которой равен . Рассмотрим последовательность функций . Поскольку последовательность  -фундаментальна, то и последовательность  - фундаментальна. Следовательно, существует предел . Переходя к пределу в равенстве , получим формулу (5.15). Причем

.  (5.16)

Важным приложением формулы (5.15) является линейное преобразование последовательности , называемое линейным фильтром.

. Линейный фильтр

Предположим, что на вход системы подается в момент времени  случайный сигнал , при этом на выходе системы в момент времени получается сигнал , где ,  - некоторая комплекснозначная функция, называемая импульсной переходной функцией. Таким образом, суммарный сигнал на выходе устройства (фильтра)