Материал: Дискетный анализ рисковых активов

Дискетный анализ рисковых активов

Контрольная работа

Дискетный анализ рисковых активов

Содержание

. Возврат и логарифмический возврат

. Линейный прогноз

. Гауссовы модели

. Стационарные в широком смысле модели

. Спектральное представление стационарных в широком смысле последовательностей

. Линейный фильтр

. Линейные модели финансовых временных последовательностей

. Линейный прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей

. Статистическое оценивание параметров модели

Литература

. Возврат и логарифмический возврат

логарифмический возврат статистический линейный

Предположим, что мы определили единицу измерения времени (один день, один месяц или один год). Последовательность  - рыночная стоимость акции, обменный курс двух валют или что-либо иное. В этом пособии мы будем придерживаться вероятностного подхода, и следовать общепринятой аксиоматике теории вероятностей. То есть  - стохастическая последовательность, которая определена на некотором вероятностном пространстве , где  - пространство элементарных случайных событий (случаев) ( в рассматриваемом контексте состояний рынка);

F - -алгебра подмножеств - совокупность событий наблюдаемых на рынке;

- семейство вероятностных мер, возможно, параметрическое, на .

Для различных финансовых теорий время и динамика являются неотъемлемой частью рассуждений, поэтому целесообразно рассмотреть поток - подалгебр . Смысл введения потока, называемого в литературе также фильтрацией заключается в том, чтобы в любой момент времени  оперировать, только теми случайными событиями, которые «доступны» наблюдателю до момента времени  включительно. Например, до момента времени включительно наблюдателю могут быть доступны стоимости тех или иных активов, начиная с некоторого начального момента до момента времени .

Таким образом, базовой вероятностной моделью является

,  (1.1)

называемая фильтрованным стохастическим экспериментом.

Если рассматривать  как информацию доступную к моменту времени , то естественно считать, что последовательность  - адаптирована, то есть для любого момента времени   измеримы. Интерпретация  как цены в момент времени  приводит к тому, что .

Существует два наиболее распространенных способа представления временного ряда :

.  (1.2)

Откуда

,  (1.3)

где , и

(1.4)

называют возвратом, отдачей, логарифмической прибылью (return).

Другой способ представления

.  (1.5)

Откуда

(1.6)

и

.   (1.7)

Рассмотрим последовательность  и обозначим через , .

Определяемая этим выражением последовательность называется стохастической экспонентой, порождаемой . Формула (1.6) трансформируется в формулу

        (1.8)

Сопоставление (1.3) с (1.8) приводит к соотношениям

      (1.9)

При малых значениях   при этом ошибка .

Таким образом, представление 1 и представление 2 в одинаковой степени могут быть использованы для описания последовательности .

Далее мы будем использовать первое представление, поскольку второе представление накладывает ограничение на . Из того, что  непосредственно следует, что . В тоже время различного рода ограничения могут существенно отразиться на сложности статистических задач.

. Линейный прогноз

Гильбертовым пространством вещественно - значных случайных величин с конечным вторым моментом  называется линейное пространство случайных величин с  и скалярным произведением

.        (2.1)

Рассмотрим совокупность линейно-независимых случайных величин , обозначим через  линейную оболочку, натянутую на случайные величины .

Наилучшим линейным прогнозом случайной величины  по совокупности случайных величин  назовем

.   (2.1)

Так как , то , следовательно, наилучший линейный прогноз

.    (2.2)

Минимум достигается тогда, когда разность  ортогональна подпространству . Таким образом, решение задачи (2.2) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений .. В матричных обозначениях система уравнений представляется в виде:

,      (2.3)

где

.

Дисперсия ошибки

.

Используем предыдущие обозначения, в результате получим . Откуда

.   (2.4)

В последних выражениях - скалярное произведение евклидового пространства.

Наилучшим прогнозом случайной величины  по совокупности случайных величин  назовем

,   (2.5)

где  минимальная сигма-подалгебра , содержащая события ; ;  означает, что  -  измерима. Из телескопического свойства условного математического ожидания . Из неравенства , следует неравенство . Отсюда оптимальный прогноз

.       (2.6)

Если совместный закон распределения  - многомерный нормальный закон распределения, то по теореме о нормальной корреляции [Ширяев, Вероятность] наилучший прогноз совпадает с наилучшим линейным прогнозом.

. Гауссовы модели

Остановимся на проблеме описания распределения вероятностей последовательности , что сводится к описанию распределения вероятностей последовательности  или последовательности .

С точки зрения классической теории вероятностей и далеко продвинутой статистики нормального распределения было бы весьма привлекательным использование нормального закона распределения для описания поведения последовательности . Поскольку для задания распределения в этом случае достаточно задания последовательности математических ожиданий  и ковариационной матрицы  . Принятие такого предположения существенно упрощает решение задачи прогнозирования  по . Как отмечалось выше, наилучший прогноз

.     (3.1)

Коэффициенты удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (2.3).

.        (3.2)

Формула для дисперсии ошибки непосредственно следует из (2.4).

Теперь мы можем говорить о доверительном интервале для  при заданной доверительной вероятности . Величина  принадлежит доверительному интервалу

,     (3.3)

где  находится из уравнения .

Зная доверительный интервал для , можно указать доверительный интервал для .

.         (3.4)

Пусть  - диагональная матрица, тогда формулы (2.4) и (3.2) существенно упрощаются. Коэффициенты  и дисперсия ошибки.

Равенство нулю ковариаций для нормального закона распределения равносильно независимости. В этом случае матрица  - диагональная матрица, а  - нулевой вектор, и наилучший прогноз , дисперсия ошибки которого . Если добавить еще более сильное требование одинаковой распределенности элементов последовательности , то при таких предположении цены  анализируются достаточно просто. В этом случае прогноз  и дисперсия ошибки . То есть теряется возможность какого-либо прогноза будущих значений.

В реальности ситуация более благоприятна, поскольку многочисленные исследования временных финансовых последовательностей показывают, что последовательность  не является гауссовой последовательностью. Кроме этого исследования показывают наличие зависимости между элементами последовательности .

Более емким распределением является смесь гауссовских распределений. В простейшем случае плотность смеси

.    (3.5)

Это распределение интерпретируется формулой:

,     (3.6)

в которой  - последовательность независимых и одинаково распределенных бинарных случайных величин,  - последовательность независимых стандартных гауссовых величин, независящих от . На рисунке 3.1 представлен график реализации последовательности .

Рис. 3.. График компьютерной реализации последовательности при

Из (3.6) следует, что

,   (3.7)

где случайная величина  - распределена по закону Бернулли. На рисунке 3.2 представлен график реализации последовательности .

Рис. 3.2 График компьютерной реализации последовательности  при