Материал: Дискетный анализ рисковых активов

Модель (3.5)-(3.7) можно рассматривать как модель Кокса-Росса-Рубинштейна с белым шумом.

Математическое ожидание и дисперсия

.  (3.8)

Случайные величины в этой модели независимы и одинаково распределены, поэтому наилучший линейный прогноз

,         (3.9)

при этом дисперсия ошибки

.        (3.10)

Отметим, что в этом случае наилучший линейный прогноз не совпадает с наилучшим прогнозом.

Модель (3.5)-(3.7) допускает определенное развитие, в котором учитывается зависимость в последовательности

,         (3.11)

при . Для

.     (3.12)

В этой модели .

Рис. 3.3. График компьютерной реализации последовательности (модель (3.11)-(3.12)) при .

Рис. 3.4 График компьютерной реализации последовательности (модель (3.11)-(3.12)) при

Математическое ожидание

.  (3.13)

Ковариация  при . При

.      (3.14)

Дисперсия

.     (3.15)

Введем обозначения  и . В этих обозначениях матрица , . Представим ковариационную матрицу  в виде произведения

,    (3.16)

где матрица . Элементы матрицы  удовлетворяют уравнениям:

.  (3.17)

Рассмотрим уравнение (2.3), которое запишем в виде . Введем обозначение . Уравнение (2.3) распадается на два уравнения:

          (3.18)

Решение первого уравнения . Решение второго уравнения

.      (3.19)

Таким образом, наилучший линейный прогноз для модели (3.11),(3.12)

.       (3.20)

При этом дисперсия ошибки

.    (3.21)

В модели (3.5)-(3.7) потребуем, чтобы последовательность была марковской цепью, с независящими от  переходными вероятностями . Обозначим через  матрицу переходных вероятностей.

На рисунках 3.6 и 3.7 представлены графики машинной реализации последовательности  и последовательности  соответственно.

Математическое ожидание . Вероятность , где , . Собственные числа матрицы  :. Соответствующие собственные векторы . Таким образом, для матрицы  существует сингулярное разложение

,         (3.22)

где . Из (3.22) непосредственно следует, что . Матрица . Отсюда

. (3.23)

Поскольку , то . Следовательно,

,   (3.24)

причем скорость сходимости показательная.

Вычислим ковариацию . Не нарушая общности, будем считать, что . Прежде всего, определим математическое ожидание

Вероятности . Отсюда

Таким образом,

         (3.25)

Рисунок 3.6. График машинной реализации последовательности  при .

Далее будем считать, что последовательность . Обозначим через . В рассматриваемом варианте формула (3.25) преобразуется в формулу  Используем (3.23) . Так как , то

.    (3.26)

Из (3.26) следует

Рисунок 3.6. График машинной реализации последовательности  при

(3.27)

Из (3.27) следует, что дисперсия

,     (3.28)

Что выглядит достаточно естественным, если учесть, что в рассматриваемой ситуации . Отметим также,

,    (3.29)

что хорошо согласуется с (3.24).

Последовательности, обладающие свойством

(3.30)

называются стационарными в широком смысле.

Отметим, что формулы (3.27) и (3.30) соответствуют определению стационарной в широком смысле последовательности.

Соединение стационарности и гауссовости приводит к стационарности последовательности  в узком смысле.

Последовательность называется стационарной в узком смысле, если для любых  и  .

. Стационарные в широком смысле модели

Далее мы будем считать, что последовательность - стационарна в широком смысле. Чтобы упростить выкладки будем считать, что . Элементы последовательности принадлежат гильбертову пространству комплексно-значных случайных величин , со скалярным произведением ,  - комплесно-сопряженное число к . Обозначим через

,

.       (4.1)

Естественно, что мы предполагаем, что .

Функция  называется ковариационной функцией. Функция  называется корреляционной функцией.

Из определения следует, что ковариационная функция является неотрицательно определенной, то есть для любых комплексных чисел  и любых , ,

.     (4.2)

В качестве упражнения доказать следующие свойства ковариационной функции:

Пример 1. Последовательность , где  ,  и , является последовательностью стационарной в широком смысле. Действительно, .

Пример 2. Последовательность , где  - ортогональные случайные величины с  и , , является стационарной.

Действительно,  .

Пример 3. Рассмотрим последовательность.

,     (4.3)

где  и , причем ; . Отметим, что ряд  сходится в среднем квадратическом и . Следовательно, последовательность стационарна.

Рассмотрим функцию . - неубывающая кусочно-постоянная функция, большая либо равная нуля, имеющая пределы слева и полунепрерывная справа. Следовательно,  с точностью до нормировки является функцией распределения. Носитель этой функции сосредоточен на множестве . С помощью этой функции ковариационная функция рассматриваемой последовательности может быть записана в виде интеграла Лебега-Стилтьеса:

.      (4.4)

Пример 4. Пусть  - последовательность ортонормированных случайных с нулевыми математическими ожиданиями. Эту последовательность принято называть белым шумом. Понятно, что белый шум стационарная последовательность с ковариационной функцией . Эта функция также может быть представлена в виде интеграла

.       (4.5)

Отсюда  или , то есть является функцией распределения равномерного закона на интервале .

5. Спектральное представление стационарных в широком смысле последовательностей

Представление последовательности (4.3) и интегральное представление ковариационной функции в примере 3 наводит на мысль о возможности получения представления произвольной стационарной последовательности в виде интегрального обобщения суммы (4.3). Формально это можно сделать следующим образом. Определим функцию

.   (5.1)

Использование функции  позволяет записать (4.3) в виде:

,       (5.2)

где .

Правая часть (5.2) напоминает интегральную сумму для интеграла . Однако, функция  является случайной функцией. При фиксированном  функция  может иметь неограниченную вариацию. Поэтому понимание интеграла для каждого  как интеграла Римана-Стилтьеса неприемлемо. Процессом с ортогональными приращениями назовем случайную функцию , если

)        для каждого  ;

)        для каждого ;

)        для любых .

Определим случайную меру полуоткрытого интервала :

.        (5.3)