Материал: Боженко Основы квантовой химии

где Yl,m (Θ, Φ) – присоединенный полином Лежандра.

где l – орбитальное квантовое число и l = 0,1,2,3,…….n-1.

Уравнение Шредингера для атома водорода

Данное уравнение имеет следующий вид:

Представим волновую функцию в виде произведения радиальной и угловой частей и подставим в уравнение (II.99)

ψ = R(r) Y (θ ,ϕ )

Приравняем левую и правую часть уравнения (II.100) одной и той же величине – λ . Получим два уравнения – одно для радиальной части и другое для угловой части:

Полагаем, что λ = 2IE2 и тогда уравнение (II.100а) та-

кое же, как для жесткого ротатора. Таким образом, имеем

Y = Yl,m (θ ,ϕ ) и λ = l(l + 1) .

Решение уравнения (II.100б) аналогично решению уравнения для гармонического осциллятора. Энергия n-го уровня

Y = Yl,m (θ ,ϕ ) выражаются, как и для жесткого ротатора через

присоединенный полином Лежандра. Радиальные функции Rn,l (r) выражаются через функции Лагерра Ln (x) . Эти

функции для функции f (x) имеют вид:

Таким образом, мы имеем решение стационарного уравнения Шредингера для атома водорода в виде произведения угловой и радиальной частей, которые принято называть атомными орбиталями или АО. Они записываются как функции трех переменных с тремя индексами ψ n,l,m (r,θ ,ϕ ) – АО.

n – главное квантовое число и оно определяет энергию электрона

l – орбитальное квантовое число и оно определяет форму атомной орбитали

m – магнитное квантовое число и оно определяет в пространстве направление атомной орбитали

n = 1, 2,3, 4,...

0 ≤ l ≤ n −1

Волновые функции атома водорода представляют собой основные структурные единицы при построении молекулярных волновых функций. При этом важны даже не сами водородные функции, а функции родственного типа для так называемых водородоподобных атомов, которые мы и рассмотрим подробнее на конкретных примерах. Но прежде определим, какие же атомы называются водородоподобными.

Водородоподобные атомы – это системы, состоящие из ядра с Z протонами и одного электрона. То есть это атомы с зарядом [(Z-1)e]+.

Напишем несколько функций для водородоподобных атомов в явном виде. Сначала напишем их для радиальной части для нескольких значений l и m

73

рой индексы при R обозначают l и m, соответственно. Максимальное количество орбиталей на энергетиче-

ском уровне или кратность вырождения определяется по

n−1

формуле ∑(2l + 1) = n2 .

l=0

Угловые части АО выглядят следующим образом:

Неудобством таких угловых функций является то, что среди них встречаются комплексные функции, которые нельзя изобразить в действительном пространстве. Однако из них можно получить удобные действительные функции – атомные орбитали, составляя линейные комбинации сферических гармоник с одинаковым квантовым числом l и одинаковым значением m.

Например, рассмотрим линейную комбинацию:

px = 12 (Y1,1 +Y1,−1)

Подставим последние две формулы в выражение для px:

Аналогичным способом можно построить две другие атомные орбитали с l = 1, обозначения которых также понятны: