Материал: Боженко Основы квантовой химии

A + B = C + D

C e ik1 a + D e − ik1 a = F e i k 2 a

В системе уравнений (II.72):

B 2 – вероятность отражения от барьера (R – коэф-

A

фициент отражения)

CA 2 – вероятность проникновения в барьер

DA 2 – вероятность отражения отвторой стенкибарьера

Решая систему уравнений, получаем:

62

T = 16E(Um − E) e− 2a 2m(Um −E) = T0e− 2a 2m(Um −E) (II.73)

Um2

Отсюда видно, что Т уменьшается с ростом массы m и увеличением ширины а ПБ. Из закона сохранения числа частиц R + T = 1. Из выражения для Т видно, при Е < Um выражение под корнем положительно и частицы проходят сквозь барьер. Очевидно, что туннельный эффект имеет заметное значение лишь в тех случаях, когда Т не очень мал, т.е. когда

2 a 2m(Um − E) ≈ 1

Из этого выражения видно, что с туннельным эффектом можно встретиться только в области микроскопических

явлений. Так, для a = 1 см, получаем, что T → 0 . Парадоксальность туннельного эффекта состоит в том, что частица внутри ПБ при E < Um должна иметь отрицательную ки-

это бессмысленно, так как p – действительная величина. Однако, этот парадокс устраняется, если вспомнить, что одновременное знание кинетической и потенциальной энергии означает одновременное знание координаты частицы и ее импульса. А это в квантовой механике невозможно по принципу неопределенности Гейзенберга. Для облегчения понимания туннельного эффекта можно вспомнить, что в волновой оптике световое поле при полном отражении проникает в среду, от которой происходит отражение, и если это тонкая пластинка, то свет частично проходит через нее. Подтверждением работоспособности представлений о туннельном эффекте является объяснение с их помощью широко извест-

63

ного явления холодной эмиссии электронов в металлах и множества других явлений.

Свободная частица

Свободная частица движется в поле с постоянным потенциалом, т.е. имеет постоянную потенциальную энергию, которую можно положить равной нулю (U = 0). Тогда стационарное уравнение Шредингера будет таким:

(II.74) – дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, поэтому его решения можно искать в виде:

в положительном направлении оси Oх с импульсом 2mE . В состоянии Ψ2 - в противоположном направлении. Пусть, например частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ1 . Какие отсюда вытекают физические

следствия? E не может быть < 0, так как при E < 0 экспоненциальный множитель становится действительным числом и при x → ∞ , Ψ → ∞ . То есть волновая функция в этом случае утрачивает физический смысл. Рассмотрим квадрат модуля волновой функции, который на основании (II.75) и (II.76) ра-

64

вен Ψ Ψ * = c2 . Следовательно, вероятность нахождения частицы не зависит от положения частицы вдоль оси Ох , и вероятность ее нахождения в любом месте одномерного пространства, где она совершает движение, одинакова. Перепишем (II.75) в виде:

где k – волновой вектор, так как в многомерном пространстве он действительно является векторной величиной. Из (II.77) имеем:

Таким образом, при свободном движении у частицы строго определен импульс, но неопределенность её положения бесконечно велика.

Частица в одномерном потенциальном ящике

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Ох в интервале x ≥ 0 и x ≤ a, таком, что внутри него потенциальная энергия равна нулю (U=0), а за его границами она бесконеч-

65